高斯分布简介

21世纪是大数据的时代，也是随机的时代，而描述和分析随机现象的基本工具就是概率分布，它们提供了对不同结果可能性的见解。因此这期推送中我们以高斯分布为例，带大家来了解一些常见的概率分布，以及它们的特征，可能的话也会涉及一些它们的实际应用，希望你们能喜欢。

这可能是有史以来最知名的概率分布，当然它还有一个拉风的名字，叫做正态分布。它或许是自然界存在最广泛的分布，以成年人的身高举例通常就是服从正态分布，用白话讲就是：在一个人群中，大多数人往往接近平均身高，更少的人明显高或矮。这有点宿命论的意味，不管你怎么努力或是摆烂，你的最终身高和大多数人都是差不多的。不仅是身高，智商一样，所以你没有特别聪明，也没有特别笨，你只是和大多数人差不多。

我所说的这些并没有什么特别的，我们差不多可以从正态分布的概率密度图像看出来，原谅我用了概率密度这个词，因为我还是忍不住要讲一点稍微专业的数学，不多，所以也不用太过忧虑。高斯分布的概率密度如果用函数来表达，大概是长这样：

我们可以把这个函数可视化，我们可以取一些μ和σ的值，来进行绘制，可以参考下图：

一些特定的高斯分布

从这些图中我们可以尝试总结高斯分布的一些数学特征，比方说：μ是均值表示的是分布的中心位置，是标准差描述分布的宽度或离散程度，当然我们也能清楚地看到概率密度的图像是一个对称的钟形，最高点位于均值μ，因此我们也常把高斯分布的图像叫做钟形曲线。

当然有一些你可能不是那么容易看出来，但是我还是要提，对于正态分布，均值、中位数和众数是相同的，并且都位于分布的中心。还有所谓的68-95-99.7法则：即在正态分布中，约有68%的数据位于均值的一个标准差范围内（即）；约有95%的数据位于两个标准差范围内；约有99.7%的数据位于三个标准差范围内。以尾部渐近性：正态分布的尾部永远不会精确地达到x轴，但会无限接近。当然它的函数表达式也告诉我们，正态分布完全由其均值和标准差决定。

看到这里我相信你一定也发现了，我有点偷奸耍滑，用了我没有介绍的数学知识，很抱歉，因为我想尽可能地多的讲一点，但如果你没有看出来我所讲的那些，也不要紧。可以专业的教科书去看看推导，那一定比我讲的要好。

至于最后，我还想说明为什么我们以高斯分布为例来带大家了解概率分布，除了它广泛存在事实上还有些数学上的原因，最重要的一个我认为要归功于中心极限定理，该定理是在说：如果我们从任何分布（不论其形状和均值或方差是多少，但方差需要是有限的）中抽取大量的随机样本，并计算这些样本的平均值，则这些平均值的分布将接近正态分布。这意味着，对于大量的随机样本，我们可以使用正态分布进行推理，即使我们不知道原始分布的形状。很神奇是不是？当我第一次看到这个定理的时候也是这样的感觉。

当然还有些数学原因，不过并不是那么重要了，对于给定的均值和方差，正态分布是具有最大熵的分布。在信息理论中，熵被视为表示不确定性的量度。这意味着在给定的均值和方差下，正态分布是所有可能分布中最不具确定性的，或者说最为“不偏见”的。

好了，今天这期就到这里，希望你看完能够对高斯分布有所了解，我们下期见。