清华张雄教授《有限元法基础》：新时代有限元教材就该这样写

本文摘要：（由ai生成）

张雄教授的《有限元法基础》是一本全面且深入的中文有限元基础理论教材，适合本科生和研究生学习。教材内容涵盖有限元法基础知识和应用，包括直接刚度法、一维问题、线弹性问题等，并介绍了有限元理论的发展历史和软件研发历史。书中还讨论了剪切自锁、体积自锁等实际应用中的重要基础知识。该教材源于清华大学钱学森班的讲义，出版后使得更多学生有机会学习到清华的优秀课程内容。作者认为，这本书有助于正确理解有限元理论，为解决工业软件问题提供帮助。

张雄教授《有限元法基础》，书后官方定价55元，京东淘 宝拼多多均有售。

前言

2023年，小喵写了一篇文章 《为什么说王勖成版《有限单元法》是本烂书》，妄议了一番清华王勖成版有限元教材。当时我在文中说，那本书可能确实在特殊历史时期发挥了正面作用，但在今天它已不适合作为教材供本科生/研究生进行入门学习。

那篇文章有个遗憾，虽然我引用了Comsol的多物理场仿真百科，也介绍了冯元桢先生的英文教材、曾攀先生的教材等等，但实际上到最后也没能给出一个特别正面的例子，能够完全、有效地替代王勖成版《有限单元法》的位置。

甚至知乎评论区还有网友认为，我读不懂是因为我水平不够。人家清华的学生都是千里挑一的天才，你觉得写的不好，别人可能用起来没问题。

然而，王勖成版《有限单元法》教材中存在的诸多问题实际上是客观的，并不是难以理解那么简单。近期小喵发现，高等教育出版社2023年出版了一本清华的新教材，是张雄教授写的《有限元法基础》。简单翻阅后我非常欣喜，立刻自己下单购买了一本。

这篇文章，就来夸一夸这本《有限元法基础》。我认为这本书堪称新时代中文有限元基础理论教材的标杆。

书籍背景和定位

在翻阅过全书以后，小喵以为，目前高校里 所有还在以王勖成版《有限单元法》作为第一参考书的有限元理论课，都可以、都应该用张雄教授这本《有限元法基础》替换掉旧书。

（——如果觉得课上有必要讲到王勖成书后面那些相对高等的章节，也可以配合衔接Zienkiewicz、Bathe等其他中译本教材。总之不必对王勖成那本书有任何留念。事实上张雄教授这本书在一些真正有用的内容上，讲的比王勖成的教材更深入、更细致）

虽然我和99%的网友们一样，都是清华大学永远得不到的学生，但不妨碍我们见贤思齐。这本教材的水平，很符合我对清华大学、对钱学森班的正面想象。清华使用的教材可以也应该有更高的理论深度，应该有更广的视野，但当然不必像某位网友说的那样，要刻意写的晦涩难懂。

这本书根据序言中的介绍，脱胎于清华大学专为钱学森班开设的有限元法基础课。这门课2012年入选清华大学首批4门“挑战性示范课程”之一。我搜了一下，这篇报道清华新闻网发于2013年7月11日，不知道这个王冰冰是否就是那位王冰冰。

引用这篇报道中的一段话：

“对比国内外教育差异，出国留学生感受最明显的往往是，在国内课堂上学到的东西‘容易忘’，而在国外课堂上学的东西‘记得住’。这种差异背后显现的是国内高等教育在学业挑战度方面的不足。国内很大一部分第一课堂采用单向的知识传授型授课模式，学生‘学的容易，忘的也快’。清华开展的挑战性示范课程的建设正是为了弥补这种差异。”教务处副处长、国家级教学名师孙宏斌教授如是说，

“从2008年开始，我在学校呼吁建设挑战性课程，希望以此为引领，提高第一课堂的学业挑战度。我个人理解的挑战性课程的特点是，利用有限的第一课堂资源，通过做中学，完成知识的集成和综合运用。这类课堂的生师互动水平高，每堂课都让每位学生出一身汗，学生沉浸其中，深度感受体验式学习和自我挑战的快乐。一门设计良好的挑战性课程应当触及科学前沿和人类面临的挑战性问题，可以有效激发学生的学术志趣，建立学术自信，培养创新意识和团队协作精神”。

https://www.tsinghua.edu.cn/info/1181/54207.htm

——不愧是清华。早在十年之前，他们就已经在用这种方式讲有限元课了。

这本《有限元法基础》2023年4月第一版、第一次印刷。今天，清华园外的我等普罗大众，也终于可以得见清华钱班使用的课程讲义。

对于想要自学有限元的读者来说，这本书还是更偏理论一点。读完它，可能仍然不能立竿见影地提高你应用商业有限元软件的水平，但是它能够引领你沿着正确的道路走进有限元理论的大门。而对于立志加入自主CAE行业，为中国解决工业软件“卡脖子”问题贡献一分力量的学子，这本书是非常合适的、适合本科生水平而又具有一定挑战性的教材。

它自成体系，不需要太多太深的其他学科知识基础。所需的弹性力学、泛函分析、数值方法等先导课的必备知识都在书中有一定程度的介绍。

它难度适中，完全没有涉及非线性、接触、断裂等等更复杂的有限元问题，所以我前面才说它的确是适合本科生水平的教材。但它又足够高级，扎实地探讨了所有初等范畴内该有的知识，包括在实际有限元软件使用中非常重要 而大多数理论教材都不讲的基础知识——剪切自锁、体积自锁和不可压缩问题应当用何种单元技术来解决。

这么评价这本书 好像夸的有点琐碎。下面我们就从目录开始，分章节有逻辑地来说说这本书究竟为什么好，好在哪里。

为了作评价，本文不可避免要对书籍内页内容进行一些拍照扫描。笔者无意侵犯版权，读者读完本文后若对此书感兴趣，也请移步官方网店购买正版。

目录和绪论

这本书正文一共六章，后面附录三章。分别是：

第一章 绪论

第二章 直接刚度法

第三章 一维问题

第四章 线弹性问题

第五章 约束变分原理和不可压缩问题

第六章 梁板壳问题

附录A 索伯列夫空间简介

附录B 弹性力学基本方程

附录C 单元示例代码

详细目录如图。

首先从绪论上就让人眼前一亮。绪论开篇就介绍了各类求解偏微分方程的数值方法，也讲了计算力学、CAE仿真在当前时代的重要地位。

1.1节，以圆周率的计算引入，介绍有限元法的基本思想。大连理工的钟万勰先生 每次讲课开篇也都喜欢从祖冲之的割圆术讲起，说我们中国古人已有这种通过近似求数值解的思想。但张雄教授书中这个例子更进一步，从圆周率的计算直接讲到有限元法的关键思想和主要步骤（第3,4,5页就不放了，感兴趣的朋友可以去买书来读）。

绪论后面的1.2节和1.3节，我实在忍不住 想要和各位分享。

短短三页半的篇幅，简明又不失深度地介绍了有限元理论的发展历史，和有限元软件的研发历史。

优秀的教材会尽可能地引用第一手资料，让学生能够看清学科知识发展的真实脉络。这两节对有限元理论和软件历史的介绍文字已比目前网上可查到的大多数中文文章都更丰富、更详细，非常精彩。

在每节的末尾，都着重强调了中国学者和工程师对有限元领域的贡献。不仅包含冯康先生的工作，还介绍了钱令希先生、胡海昌先生、钱伟长先生等几位先生的工作。

对于国产软件的发展历史和遗憾，这本书也没有讳言。在章节末尾更是提到，近年来国家大力扶持自主知识产权CAE软件研发，工业界也越来越重视自主可控软件，为国产CAE提供了新的机遇。

关于有限元历史这部分的参考文献，最新的[32]引到了2022年。感兴趣的朋友也可以按图索骥去翻阅一下英文第一手资料。

小喵的公 众 号上，之前就有[31]那本书——数学与力学工程相遇——的下载。正好借此机会更新一下，把张雄教授这本书的参考文献[28-32]五篇原文都打包放在公 众 号上。

现代化的有限元教程

这本书第二章 直接刚度法，和曾攀教授的书一样，从杆系桁架结构出发，介绍最简单的有限元列式。这样的形式由浅入深，最容易被学生理解和接受。这本书的出彩之处在于，讲到组装总体刚度矩阵的章节，直接使用了Python代码进行介绍，还使用了花式索引（fancy indexing）来简化代码。可能这应该是一本与时俱进的当代有限元课程和教材的基本要求，但这些小细节对于常使用Fortran古董代码来进行讲解的各种有限元理论教材来说，实在太难得了。

就在后面不远处，这本书介绍了线性方程组的数值解法，就更加精彩。这本书中没有赘述更简单的高斯消去，而是直接简单介绍了LDLT分解法。紧接着引入CPU缓存的知识，介绍活动列求解方法。CPU的三级缓存架构最早出现于2000年前后，对于今天的程序员来说应该成为常识。但相对于有限元这个学科的历史来说，确实是很新的知识。

在介绍完矩阵求解的基本算法以后，书中还提到了PARDISO线性方程组求解器和Intel的数学核心函数库（Math Kernel Library, MKL）。

同样在第二章 2.5节 有限元法的程序实现 中，张雄教授还详细介绍了使用C++和Python语言编写的STAPpp和STAPpy源程序的结构。

现代化的有限元理论教程，正当如是！

足够高级的有限元理论

前面已经使用杆单元和直接刚度法，扎实地带学生建立了对有限元列式的初等理解，并完成了完整的代码实现。进入第三章，开始从泛函的视角来推导有限元理论公式。

后面我就不放太多书页扫描了。实在是因为如果全放上来，文章篇幅太长不说，更有侵犯版权之嫌。

这部分知识 从内容上，有点类似王勖成书的第一章，但无论是从实际内容深度上，还是从可读性上都明显比王勖成的书要强。泛函分析作为一门工科高年级数学课，最大的痛点就在于学生不知道这些概念有什么实际作用。

而这本《有限元法基础》，在讲有限元的同时按需介绍勒贝格空间、索伯列夫空间、希尔伯特空间等等泛函分析概念，又马上使用这些概念来讲解有限元的列式和收敛性，让学生真正能够从更高的层面理解有限元，又能够切实地通过有限元的概念理解泛函那些数学工具的应用场景。学生学习的体验想必要比分开学习泛函分析和有限元两门课强了太多。

在第三章中，糅合了《泛函分析》、《偏微分方程数值解法》和《数值计算方法》等许多门有限元先导课中的关键核心知识点。介绍了加权余量法、伽辽金弱形式、变分原理和Ritz法、高斯积分等重要概念。对有限元基础理论的介绍足够高级，但又自成体系，完全没有以往有限元书中讲到这里时总要让读者再去翻阅其他教材的烦闷。理论背景信手拈来，概念介绍深入浅出，读者理解起来一气呵成，甚是爽快。

真正有用的有限元基础知识

进入第四章，终于开始讨论三维弹性力学问题，也真正开始讨论二维和三维单元的形函数。书中用双色印刷的漂亮图片清晰地介绍了单元形函数的意义，用更合理的逻辑和更简明易懂的语言介绍了等参变换，还顺带提到在分析过程中，如果网格畸变过大，可以重新生成网格或使用任意拉格朗日-欧拉法（ALE），以维持合理的单元形状。

之所以说这一章是真正有用的有限元知识，是因为张雄教授在书中4.4节，初步讨论了剪切闭锁和体积闭锁。而在4.6.3节，详细讨论了减缩积分产生的沙漏模态。

这部分内容，在王勖成的《有限单元法》书中，存在巨大的问题。王勖成的书中，图4.6 只放了二阶Q8减缩积分单元的沙漏模态。事实上，二阶减缩积分单元的沙漏模式在多个单元组成的网格中不会传递，因此一般无需担心二阶单元的沙漏模式。王勖成书中相应章节后面虽然也提到了这个情况，但其文字实在晦涩，初学者很难理解。而在张雄教授的书中，图4.63 Q8单元的沙漏模态图片下方紧接着就直接解释了这一问题：

（顺便，在这里也对我之前写过的批判王勖成老师那本书的文章做一个勘误。我那篇推送倒数第二段，王勖成老师书中5.3.2节 等参元的最佳应力点，文字我确实没完全看懂，但他的配图是正确的。在张雄教授的书中，表4.6同样介绍了最佳应力点的问题。减缩积分的积分点恰好对应于最佳应力点。）

在《有限元法基础》第四章后面，以及第五章，更是深入介绍了引入人工沙漏刚度的方法避免沙漏模式、使用非协调模式和选择性减缩积分等技术来避免剪切闭锁和体积闭锁的具体方法和列式。这些方法已经在ANSYS、Abaqus等商用有限元软件的单元中得到成熟应用，但许多较老旧的有限元理论教材并不会介绍这些内容。

展开多讲一下。以Abaqus为例，一阶8节点六面体C3D8单元的变体，C3D8R就使用了减缩积分+沙漏控制。如果使用UMAT自定义本构模型，没有在代码里明确定义沙漏刚度的话，使用C3D8R单元Abaqus就会报错提示零沙漏刚度。而C3D8I单元则使用了非协调模式，来避免出现剪切自锁问题。ANSYS的当前技术单元（Current-technology elements）中更可以自动帮助用户选择合适的单元技术（包括增强应变列式、B-Bar方法、混合u-P列式等）来避免剪切和体积闭锁。

在张雄教授书中299页，详细介绍选择性减缩积分理论的部分，也提到了Abaqus等商用软件在低阶单元的完全积分法方案中使用了选择性减缩积分。

当代的梁-板理论

第六章，梁板壳问题中，开篇6.1介绍伯努利-欧拉梁，6.2就接着介绍铁摩辛柯梁。在当代有限元软件中使用的梁单元基本都基于铁摩辛柯梁理论，但国内少有有限元理论书对此进行详细介绍。

薄板和壳单元更是如此。在徐芝纶先生的弹性力学（下）书中，几乎全部篇幅都在介绍经典的Kirchhoff-Love板理论和相应的解析解法，但实际有限元软件中早已使用了高阶的Mindlin-Reissner板理论。《有限元法基础》这本书从基础的欧拉梁和Kirchhoff板理论出发，一直详细介绍到铁摩辛柯梁单元和Mindlin中厚板、壳单元的构造。对于学生来说，无论是未来从事CAE工业软件的开发，还是CAE仿真软件的应用，都足够务实地打下了非常坚实的知识基础。

稍微抓一个无关紧要的小错误。书中324页，Kirchhoff-Love板理论，书上的Kirchoff拼错了。每处“Kirchoff”都少写了一个字母h。

清华大学计算动力学研究室网页上 有一篇《有限元法基础》勘误表。

http://comdyn.hy.tsinghua.edu.cn/show/books/606-fem-book-errata

笔者才疏学浅，科研能力平凡，简单翻阅之下只能找出这种拼写错误。我也会发邮件给张雄教授告知这一小问题。

后记

在文末重新叠一次甲。

小喵是一名水平很普通的固体力学博士研究生。我没上过、以我的水平也上不了清华。这篇文章只是以我的视角，向大家分享我为什么觉得这本《有限元法基础》是一本优秀的有限元教材。书中我没提到的、更高级的亮点当然还有很多，但限于篇幅和我自己的水平，就只能写到这里了。

看过我的推荐后，这本书是否适合你，相信各位读者心中都会有自己的答案。对于仅仅是使用有限元软件的工程师，可能还是把有限的学习时间花在了解仿真软件的关键字、前处理工具的熟练掌握、更深入地理解公司的具体产品和工艺上，会来得更有效率。

如果你是CAE仿真软件的开发者，这本书虽然没有更深入的讨论大变形、非线性材料、复杂接触、断裂等等高级主题，但也是书架上必备的参考资料。

无论是谁，只要你愿意翻开这本书，跟着张雄教授的逻辑仔细推导书中公式，相信你一定能够看得懂并且有收获。这本书绝不会像王勖成那本书一样让你开篇就怀疑智商并劝退。

我一直相信，这个世界上所有复杂的知识，都像一座高山。无论多高，只要愿意攀登，一步一个台阶总能登上去。区别就在于聪明人可能爬的快一点，步伐迈得大一点，爬的更稳一点。而愚笨者如我，可能爬的慢一点，每一步迈的小一点，但只要找到一个还比较缓的坡道和台阶，总能慢慢向上爬。先驱者可以在山顶上将人类知识的峰顶再垒高一层，布道者能在荒芜的山腰上开辟出台阶。我们凡人没有这个能力，但沿着台阶向上爬，总还是会的。

一本优秀的教材，应当给读者准备一副间距合适的梯子、或台阶，再在合适的位置布置一些缓步台。实在限于篇幅需要跳跃的地方，也应该留下合适的标记，让读者能够跟随索引找到台阶拾级而上。无论爬的快慢，只要向上攀登，就都能够享受学习新知识的乐趣。

再次感谢张雄教授将清华这门精品课程的讲义整理结集出版。让我等清华园外的普通人，也能读到这本适合这个时代的优秀教材。

愿更广大的工科、尤其是力学学子们，能不再受天书困扰。真正感受到力学和有限元的迷人之处。