导读：主要围绕STAR-CCM+软件，结合自己多年的航空航天工程经验，努力探索一条CFDer学习者自学STAR-CCM+仿真与应用的学习路线。

其中我的仿真秀专题课程《Star-CCM 流体伴随拓扑优化构造4讲》将伴随优化方法和拓扑优化方法应用到超强换热结构的构造中，并结合CFD数值模拟和自适应网格技术自动生成扰流肋，以提高换热性能。而本文将向读者朋友介绍的的新的专题课《STAR-CCM 流体拓扑优化应用专题10讲》，让学习者实现流动损失的最小化和换热性能最大化专业技能。以下是正文。

一、什么是流体拓扑优化

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与尺寸优化 ( size optimization )和形状优化( shape optimization)相比,拓扑优化( topology optimization)的优势在于突破了经验性固有思维对设计的影响,拥有较高的设计自由度,允许在优化过程中改变拓扑形态,可以获得富有创新想象力的新颖复杂结构,形成颠覆性设计方案,并可通过增材制造( 3D打印)等方式得到实现。

拓扑优化革新了传统功能驱动的经验设计模式,实现了性能驱动的创新设计。拓扑优化起源于固体结构领域,最早于1988年由Bensøe等提出并成功应用。与固体结构拓扑优化一样,对承载着流体流动与传热传质的装备进行拓扑优化设计的方法被认为是一项突破性技术,越来越受到研究人员的关注。与以应力-应变为力学基本架构的固体结构拓扑优化不同,流体拓扑优化是以“流体流动为基础”的拓扑优化,在确定目标函数和约束条件下优化流体-固体界面,以最佳方式分布流体流道,寻求获得最优的性能,实现流动阻力最小、传热效率最高等目的。

2003年Borrvall等开创性地提出在流体Stokes方程中添加一个阻力项对流体速度进行惩罚,使固体区域的流动阻力远大于流体区域的流动阻力,实现了流体流道的拓扑优化。之后,众多学者对流体拓扑优化及其应用进行了大量研究。但是与固体结构拓扑优化相比,流体拓扑优化目前尚未达到成熟阶段,在主流的CAD/CAE软件中很少有流体流动的拓扑优化模块,基本没有流体流动与传热的拓扑优化功能。增材制造( 3D 打印) 技术的快速发展,为复杂结构的制造提供了有效途径,拓扑优化与增材制造的集成可以充分发挥两者的优势和潜力，加快了其在航空航天、电子芯片、核能、新能源、储能、高端装备等领域的应用,提升相关装备产品的性能和能效水平,更好实现节能降耗、碳达峰碳中和目的。

二、流体拓扑优化具体流程

流体拓扑优化的基本流程如图所示,主要包括4个环节:

④后处理,输出结果。

三、拓扑设计变量表述方法

由于拓扑优化类型、问题描述和物理现象各不相同,拓扑设计变量表述方法对拓扑优化的求解效率、计算精度、最终结果的影响很大。目前最常用的拓扑设计变量表述方法主要有以

下几种:变密度法(density-based)、水平集法( levelset method)、双向渐进结构优化方法(BESO)、独立连续映射方法(ICM)等。

1、变密度法

变密度法基本思想是引入一种密度或孔隙率为0~1 的可变材料,把材料密度或孔隙率作为拓扑设计变量,并通过插值函数建立拓扑设计变量与物理特性之间的关系,以寻求设计区域内最优材料分布。

在变密度法中,令γ 为拓扑设计变量,表示材料密度或孔隙率,γ ∈[0,1]。当γ 取0 时,微元区域内没有流体,代表该微元区域为纯固体,流体不能通过;当γ 取1 时,微元区域内为流体材料,也就是该微元区域是流体域流体通道的一部分;当γ 在0 ~ 1取值时,微元区域为多孔介质。

基于变密度法的拓扑优化,为使结果不受网格影响,对设计变量进行正则化处理,采用过滤-投影法,利用亥姆霍兹方程为密度过滤器施加最小长度比例,连续细化网格。通过施加双曲正切函数的投影来消除棋盘格效应(灰度)。

2、水平集法

水平集法的基本思路是引入一个水平集函数(高一维尺度函数)来隐含描述固体-流体边界,并作为控制方程的约束条件,以寻求设计区域内固体-流体边界的最优分布。在Osher 等开创的水平集法上,通过演化和合并水平集函数的零轮廓来完成拓扑结构的变化。

四、拓扑优化与CFD的耦合

与固体结构承受外力载荷一样,流体流动与传热控制方程CFD 模型及其求解方法决定流体拓扑优化求解难易程度、计算时间、计算资源。

一般情况下,流体问题至少包含1 个流体流动的控制方程,如连续方程、动量方程等,其表达式如下:

式中:ρ 为流体密度; p 为压力; μ 为流体动力黏度;μt 为湍流黏度,当流动为层流时,μt = 0;cp 为流体比热;k 为流体导热系数;u 为流体速度矢量;F 为作用到流体上的体积力源项;T 为流体温度;Q 为热源源项;t 为时间;I 为张量。

对于湍流问题,还需加上湍流模型。常用的湍流模型主要有Spalart-Allmaras 单方程模型、标准k-ε 模型、RNG k-ε模型、可实现(realizable) k-ε模型、k-ω模型、雷诺应力模型和大涡模拟。上述连续方程、动量方程、能量方程、湍流模型等可统称为CFD 模型。加上初始条件和边界条件等,可进行CFD 求解。

对流体拓扑优化,动量方程中的体积力源项F 代表了固相对流体相的作用,表述为F 与流体速度成正比:

F = - α(γ) u

当γ = 0 时,α(γ)→∞ (常取一个很大的值来代替无穷大),F→∞ ,代表作用在流体上的力很大以至于流体无法流动,该单元为固体域;当γ= 1时,α(γ)= 0,F = 0,代表作用在流体上的力很小从而可流动,该单元为流体域。

求解拓扑优化问题,一个关键的环节就是求解等式约束,即求解CFD 模型的偏微分PDE 方程,这需要在每次迭代中求解CFD 模型以计算目标函数值。由于动量方程、湍流模型的强烈非线性,要正确而有效地模拟流动与传热是很困难的。因此,CFD求解器的计算效率和精度将极大地影响拓扑优化的性能。几十年来, 研究者已经开发了有限元法(FEM )、有限体积法( FVM )、扩展有限元法(XFEM)、格子玻尔兹曼法(LBM) 等多个求解器来求解控制方程。

五、拓扑优化模型及求解方法

1、拓扑优化模型建立

优化模型3 要素:设计变量、目标函数、约束条件。一般情况下,流体拓扑优化的数学模型如下。

式中:γ 为拓扑设计变量; f(u, p, T, γ) 为目标函数,可为单目标函数或多目标函数;为流体流动与传热问题的控制方程;为状态方程或其他约束条件。目标函数作为优化标准,对最终的拓扑结构影响极大。针对流体拓扑优化,在现有的文献中,已经有至少10 多种不同的目标函数:如最小化平均温升、最小化热阻、最小化压降、最小化能量耗散、最大化换热量、最大化可回收热功率等。

目前,流体拓扑优化中,大多数研究人员处理的是单一目标函数。其中一些研究是将其他目标设定为优化约束条件来处理,还有一些研究采用加权方法来变换成单一目标函数,基本没有用多个目标函数来实现真正的多目标优化,以达到强化传热和改善水力性能的双重目标。对于约束条件,目前常用的有水力性能、压降、最高温度、体积分数等约束。

2、优化求解方法

研究人员在使用CFD 求解器计算出目标函数后进行优化,用以更新设计变量赋值,以便在特定约束条件下最小化或最大化目标函数。优化求解器是拓扑优化算法的核心部分,它决定了设计域的演变,从而决定了拓扑优化的最终输出结果。因此,优化求解器的计算效率和稳定性将极大地影响拓扑优化的性能。几十年来,已经开发出基于梯度(gradient-based)、遗传算法(GA)、神经网络等多个优化求解器。

(1)基于梯度的优化算法

该方法也称为“灵敏度分析” 法,是计算目标函数相对于设计变量的梯度,这些梯度代表了目标函数在每次迭代时相对于设计变量的变化,称为灵敏度。优化求解器根据这些梯度值或灵敏度来更新设计变量,以改进目标函数的值。目前已开发出以下基于梯度的优化求解器。

移动渐近线法( MMA) 和全局移动渐近线法(GCMMA)是基于移动渐近线的全局收敛方法,可以广泛应用各种目标函数和约束,非常适合用于解决有多个控制变量的拓扑优化问题。大型非线性优化求解器(SNOPT),对于解决目标和约束中具有平滑非线性函数的约束优化问题非常有效。

序列二次规划法(SQP)是一种用于大规模约束优化的算法,从二次序列规划子问题中获得搜索方向,其目标函数可以是任意形式,并可以施加任意形式的约束。当有较多的约束条件时,SNOPT 是非常有效的优化求解器。

(2)遗传算法(GA)

遗传算法是一种基于染色体和基因的生物学的随机进化算法。这种进化算法在迭代几代之后获得优化的解决方案。GA 避免了每次迭代时对目标函数的梯度计算。理论上,它将获得全局最优。此外,对于多目标问题来说,GA是一个很好的优化求解器。研究人员已经在不同的领域开发和应用了GA。Sasaki 等提出了基于粒子方法的流体拓扑优化方法,使用瞬变运动质点半隐式(MPS)方法处理自由表面流体流动,而不需要显式的表面跟踪。

(3)神经网络算法

神经网络是一种基于机器学习的优化技术,目前贝叶斯优化算法是一种比较好的神经网络算法,该算法主要由2 个部分组成:统计和采集。贝叶斯优化算法由于其较高数据效率的结构,在大数据应用中显示了较高稳健性。

六、拓扑优化案例

1、流动拓扑优化

对流体流动进行拓扑优化，如图在方框内构造流道形状使流动损失最低。

设定进口到出口的压降为优化目标，采用水平集方法进行拓扑优化的求解，如图为优化过程。

监测的压力损失逐渐降低-压力损失降低51%。

将优化结果进行几何建模，形成几何模型.

2、传热拓扑优化

通过在平板上生成扰流肋换热结构，以提高换热系数。目标是通过将平板的换热系数最大化来确定平板上扰流肋换热结构的形状。平板几何形状如图，平板上面为流体域，平板下部给定换热系数和温度。

扰流肋的目的是提高换热系数，从而降低壁面温度，因此将固体外壁面的平均温度T作为优化目标；优化变量为整个流体域网格。

下图为扰流肋自动造型约1/4、1/2和1的过程。

典型造型

自动造型出的扰流肋基本具有相同的特征结构，即顺流向的箭头型，对扰流肋进行规则化，并进行实体造型。

在相同的网格和边界条件下，计算分析了相同高度的常规矩形扰流肋，高性能W型肋，箭头型肋的努赛尔数和总压损失系数，可以看出箭头型肋相比于矩形肋努赛尔数提升90%；箭头型肋相比于W型肋，努赛尔数提升32%。

为了帮助学习者掌握STAR-CCM流体拓扑优化方法、流程、耦合流动和注意事项及必备技能，我在仿真秀官网原创视频课的《STAR-CCM 流体拓扑优化应用专题10讲》旨在帮助学习者实现流动损失的最小化专业能力。