发现弹性模量

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟 太原科技大学。

弹性模量是表征材料弹性变形、进行结构设计的重要指标。众所周知，1676年，Robert Hooke (1635-1703) 于1676年给出了弹簧变形与力之间的关系，即虎克定律

这里，F 表示力，x 表示弹簧变形。k 是表征弹簧弹性变形能力的常数，称为劲度系数（倔强系数）或弹性系数，由上式可知，k 可以通过力F 与弹簧变形x 的比值求得。弹性模量在材料变形中有些像弹性系数k 的意思，但它的发现要比弹性系数曲折的多。

图1 Robert Hooke (1635 –1703)

这是一张1680年的画像，有人推测这很可能是虎克

17世纪末期，莱布尼兹 (Gottfried Wilhelm Leibnitz , 1646-1716) 提出微积分后迅速在欧洲大陆产生了极大的影响，为了扩展微积分的应用范围，许多科学家提出各种各样的问题来扩展微积分的应用领域。雅各布·伯努利 (Jacob Bernoulli ,1654-1705) 提出了一个体现微积分应用的力学问题，他很可能是第一位涉及到弹性模量的数学力学家。题目如下：

“如图2(b) 所示的悬臂梁，在其自由端作用一集中载荷P，求梁的挠曲线。”

(a) Jacob Bernoulli ,1654-1705；(b) 自由度受集中力的悬臂梁

图2 雅各布·伯努利和梁弯曲变形的例题

雅各布的想法是，悬臂梁的挠度可通过梁的曲率来确定，用y 表示挠度，则存在以下关系：

上式中，左边的r 表示梁弯曲后的曲率半径，表征梁的弯曲程度。显然，梁的弯曲程度与弯矩相关，经过推导，雅各布得到了如下关系：

这里，Px 为距离自由端为x 的截面上的弯矩，可记为M。雅各布得到了梁受弯矩 (M) 与曲率 (1/r) 成正比的结论。现在材料力学中，上式的结果为

可见，m 就相当于弹性模量，不过雅各布只关心微积分的应用，并没有对m 的力学意义进行深入的说明和定义。

图3  从伯努利家族到欧拉

1696年，雅各布的弟弟约翰·伯努利 (Johann Bernoulli ,1667–1748) 以公开信的方式，向全欧数学家提出了著名的“最速降线问题”，促成了一个新的学科——变分法的诞生。约翰的儿子丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli ,1700–1782) 就建议约翰的学生欧拉 (Leonhard Euler ,1707-1783) 采用变分法求解雅各布提出的梁变形问题，他在给欧拉的一封信里说道：“没有旁人能比得上你这么精通等周法 (isoperimetric method)（变量积分），你一定能轻松地解答下列问题：怎么求出的极小值。”显然，梁弯曲变形时应变能为

根据雅各布的结论：“弯矩与曲率成正比”，即M∝1/r，因此，对 (1/r)² 积分就相当于对M² 积分，丹尼尔建议欧拉的题目相当于是不计常数项求梁变形时的最小应变能，这在力学上被称为最小势能原理。该原理认为梁的真实变形要满足使得应变势能取最小值，是最小作用量原理在弹性力学中的具体化。不久之后，欧拉采用变分法导出了与雅各布相同的结果：

由于欧拉没有考虑小变形，因此分母上的y ' 消不掉，致使上式非常复杂。欧拉采用级数积分获得了梁自由端的挠度的近似值

材料力学中给出的正确解答为

可见，欧拉的结果中，挠度与长度的平方成正比是错的，而应该是3次方。此外，系数C 就是抗弯刚度EI，他把C 称为“绝对弹性”，认为它与材料的弹性性能，以及梁的截面形状有关（参考铁木辛柯《材料力学史》）。很多学者提到，欧拉在1727年发表的一篇文章里提出了弹性模量的概念（缺文献），可能只是有关这一概念的想法。但即便如此，欧拉相对于雅各布纯粹讨论微积分的应用，已经向力学迈进了一步，更重要的是指出了C 与材料弹性性能的相关性。

图4 Giordano Riccati 1709-1790

从此，人们已经相信材料弹性性能也是材料属性之一，并尝试测量各种材料的这种属性。1782年，意大利实验力学家Giordano Riccati 利用梁的振动特性测定了钢相对于黄铜的弹性模量，这被认为是测定弹性模量的第一个实验，他得到的结果如下：

但是Giordano Riccati 仍没有给出弹性模量的概念，只是把它视为反应材料弹性性能的参数。1807年，托马斯·杨 (Thomas Young ,1773-1829) 发表了A Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts，明确提出“弹性模量”(the modulus of the elastic) 这一概念，他在文中写道：

图5 Thomas Young 1773-1829

‘we may express the elasticity of any substance by the weight of a certaincolumn of the same substance, which may be denominated the modulus of itselasticity, and of which the weight is such, that any addition to it wouldincrease it in the same proportion as the weight added would shorten, by itspressure, a portion of the substance of equal diameter’.

“我们可以同一物质的某一列的重量来表示任何物质的弹性，该重量可以用其弹性模量来表示，并且重量是这样的，当物体受压时，增加额外的压力物体的缩短量就会按照该重量等比例的增加。”

托马斯·杨还指出了这一模量既适用于棒的压缩也适用于杆的延伸，并且还适用于液体。他还特别强调了以下事实：胡克定律仅在物体保持弹性变形时适用，此后发生塑性变形就不再适用了。此外，托马斯·杨还测定了多种材料的弹性模量。

不可否认，托马斯·杨对弹性模量的定义是比较复杂的，他所提到的“某一列重量”令人不知所云（我猜他本意应该是物质的某一性质）。但是他明确了弹性模量 (the modulus of the elasticity) 的概念，指出弹性模量是物体的固有属性之一，这与之前工程师们利用虎克定律把结构刚度与弹性模量混为一谈有着本质的区别，因此，人们也把弹性模量称为杨氏模量 (Young’s modulus)，以纪念他在物体弹性变形方面的贡献。不过，我们今天所学的弹性模量的概念并不是托马斯·杨给出的，而是由法国力学家纳维 (Claude-Louis Navier ,1785-1836) 于1826年提出的。在介绍纳维的工作之前，还需要再介绍另外两位科学家的工作。

图6  Claude-Louis Navier 1785-1836

其一是柯西对应力、应变的定义，1822年，柯西 (Augustin Cauchy ,1789-1857) 在给法国科学院的论文中指出材料弹性条件反应了材料的内在属性，这里给出了应力和应变的概念。

图7 Augustin-Louis Cauchy 1789-1757

其二是，实验力学家们对测定力与变形曲线的实验装置的研究，如德国实验力学家Franz Joseph Rittervon Gerstner (1756-1832) 设计的测量铁丝受拉状态下“力-变形”曲线的实验装置。同时，他还利用公式E=σ/ε 测定出了轧制钢的弹性模量为

Gerstner 采用的单位为“Lower Austrian pounds per square inch”，换算成国际单位制，需要乘以系数0.0081，最终得到结果为195.283GPa，我们现在一般用210GPa。不过Gerstner自己称弹性模量为弹性力之比 (elastic force ratio)。

图8 Franz Joseph Ritter von Gerstner 1756-1832

图9 Gerstner 设计的测定力与变形曲线的实验装置

应力、应变的概念有了，测量材料加载曲线的实验技术有了，人们即将揭开弹性模量的面纱。1826年，纳维在分析梁变形及其强度时，区分了弹性模量 (E) 和截面惯性矩 (I)，对于矩形截面梁给出了如下抗弯刚度（注：纳维用表示抗弯刚度）：

这一结果就是现在材料力学中讲解的结果。其中，E 为弹性模量，bc³/12 为矩形截面梁的截面惯性矩。特别强调一点，纳维将弹性模量E 视为物质常数，仅与材料有关而与结构的几何形状无关（几何部分用截面惯性矩来体现）。在纳维的结构理论中，弹性模量占有极为重要的地位，可依据弹性模量来概括材料的力学性能实验。例如纳维改变了实验测试方案，经过大量的锻造铁实验，采用平均值作为材料的弹性模型，得到弹性模量为200GPa的结果。弹性模量终于走出了重重雾霾，在力学研究以及各种工程建设中发挥出重要作用！

参考文献：

[1] 武际可. 伯努利家族在力学上的贡献[J]. 力学与实践, 2009(03):105-107.

[2] 常振擑[译]铁木辛柯[著]《材料力学史》

[3] Chiara Tardini (2015) Evaluating the Load-BearingCapacity of Wood Elements in Early 19th-Century France, International Journalof Architectural Heritage, 9:5, 628-638,

[4] Karl-Eugen Kurrer. On the Relationship betweenConstruction Engineering and Strength of Materials in Gerstner's "Handbookof Mechanics"

[5]  百度、维基等百科知识