【Radioss干货】混凝土材料

混凝土材料在Radioss中可以用LAW10、LAW21、LAW102、LAW24和LAW81来描述。这些材料模型使用Drücker–Prager屈服准则^[1]，它是一种使用压力来判断材料失效还是材料进入塑性的模型。

这两种材料卡片非常类似，他们的区别在于压力vs体积应变关系在LAW10中是参数输入，而LAW21中是曲线输入。

这两类卡片也非常类似，他们之间的区别是LAW10使用Drücker–Prager屈服准则，而LAW102是通过Mohr-Coulomb参数描述Drücker–Prager屈服准则。

此外，LAW10还可以结合/EOS/COMPATION来描述混凝土的状态方程（比如在爆炸中）。

LAW24材料模型是从Ottosen三轴破坏面推导出的屈服面，并且建立了正交各向异性损伤模型，可以考虑高压应力下的Cap模型。这个模型可以通过附加参数或者附加的beam单元描述钢筋混凝土材料。

LAW81材料模型是基于Drücker-Prager屈服准则和Cap模型的。它有一个基于Foster原理的应变硬化Cap模型，且在塑性阶段可以考虑各向同性硬化。 

在LAW10和LAW21中材料进入屈服的判断如下：

这里J2是应力第二不变量（也就是Von-Mises应力）。

P是静水压力：

I1是应力第一不变量（用于描述体积变形）

这里使用压力的多项式

来描述Drücker-Prager 屈服准则的材料的屈服面。

这里多项式系数A0,A1,A2由拟合实验数据得到。

所以对于Drücker-Prager 屈服准则为：

如果F<0，那么：

则材料处于屈服面下的弹性阶段。

如果F=0， 那么 ：

则材料处于临界的屈服面上。

如果F＞0， 那么：

则材料超出屈服面，那么应力将不再变大，而且始终映射回应力面。

在LAW81中使用Drücker-Prager Cap模型，它的屈服准则是: 

这里 q是von Mises 应力

而 p 是压力

上图是LAW81 带有cap模型的屈服。这个屈服分为两部分描述：

• 上图中 ① (P≤Pa) 部分 

即von Mises 与压力是线性关系:q=tanΦ+c

• 上图中 ② (Pa＜P＜Pb)部分就是描述屈服面中的Cap部分。通常混凝土的屈服会随着压力的增大而提升，但是不能无限制提升，在压力足够的的时候会出现压溃而导致屈服面下降。

那么这个下降的过程就可以使用Cap模型描述。在LAW81中Cap模型如下描述： 

那么von-Mises应力即为:

参数Pb可以在LAW81中的fct_IDPb 定义。Pa 由Radioss通过输入的参数α自动计算。

Pa=α·Pb；0＜α＜1

P0是屈服面上最高点，即：

当混凝土内压力P=Pb, 那么rc(pb)=0也就是 q=0·(p·tanΦ+c)，即混凝土压溃了。

在LAW81材料卡片中输入的参数Φ，c，pb，α用于确定 Drücker–Prager 屈服面。因此至少需要4个试验数据点来拟合这些参数。 

最简单的比如单轴拉伸，单轴压缩试验数据可以确定线性部分参数Φ和c。至于参数pb和α可以通过一些双轴压缩试验得到。

不同载荷下的数据点描述LAW81 屈服面

对于大多数材料，如金属，塑性应变增量可以认为是垂直于屈服面。但是如果使用这种方法的塑性应变增量用于岩石或混凝土材料，则会高估塑性体积膨胀。因此，在这些材料中通常使用非关联塑性流动规则。

在LAW81中，塑性流动函数G定义如下：

当压力超过p0时, 描述混凝土屈服的F函数和描述塑性流动的G 函数是相同的并且满足下面的条件：

当压力在p0时用屈服描述为：

而用塑性流动G描述为：

这样参数ψ就可以求得。

LAW81混凝土材料的屈服和塑性流动。

Radioss中的LAW24（CONC）是专门用于混凝土的材料模型。这里讨论一下如何理解这个材料模型卡片中的参数，以及如何通过简单的实验来拟合实际材料的性能。 

由于LAW24是从Ottosen三轴破坏面推导出的屈服面。所以下面我们分别通过混凝土的拉伸压缩失效来讲解LAW24混凝土的屈服。

在LAW24卡片中参数Ht，Dsup，εmax用于描述混凝土材料在拉伸时出现失效。

在最初的非常小的弹性阶段中使用的弹性模量为Ec。

当拉伸应力达到拉伸强度 ft 后混凝土开始软化，使用软化切线模量Ht。

最大损伤系数Dsup也是非常有用的。因为它能够模拟裂纹期间和之后的残余刚度。

残余刚度计算为:

当裂纹闭合时，混凝土再次变得弹性，并且损伤系数（每个方向）被保存。混凝土在拉伸中的承载能力比压缩低得多。所以通常拉伸被认为是弹性的。

为了尽量减少损伤结束前的当前刚度，从而避免拉伸中的残余应力，建议选择Dsup值接近 1 (默认值为 0.99999)。因为很高的残余应力会导致在拉伸时出现非常大的单元变形，尤其在使混凝土拉伸失效的力任然存在时会发生。

可以调整Dsup(以及Ht) 以模拟混凝土使用钢筋等加劲加固时的力学行为。混凝土材料一旦达到总失效应变εmax就会失效。

对于混凝土，屈服面是失效表面是塑性硬化带的开始，这个塑性硬化带是指在失效面 rf 和屈服面之间的区域。

在拉伸阶段是假设屈服面和失效面是同一个的，而在压缩阶段屈服面与失效面之间成系数k(σm，k0)关系，此时的屈服如下计算：

• 对于 Icap=0 或者 1（没有Cap） 屈服面如下:

• 对于 Icap=2 (有Cap) 屈服面如下:

👉  当r＜ k(σm，k0)·rf (上图中的Elastic标注的区域), 即材料处于弹性阶段；

👉  当r ≥ rf 上图中的Failure标注的区域), 材料失效；

👉  当 k(σm，k0)·rf＜ r＜rf (上图中Plastic标注的区域), 表示材料处于屈服面以上，但是低于失效表面，即处于塑性硬化阶段。

参数ρt是单轴拉伸时的静水压力失效值，ρc是单轴压缩时的静水压力失效值。

👉  当σm ≥ ρt(即处于拉伸阶段), 系数k(σm，k0)=1。即这个阶段屈服面和失效面是一样的，即r=rf。

👉  当ρt＞σm＞ρc（即在拉压区域），则系数为：

👉  剩下的区域就是σm ＜ρc，即需要Icap选择Cap模型，此时的系数如下计算：

• 如果 Icap=0 或者1且σm ＜ρc(即在受压区), 那么k(σm，k0)=ky 
  

• 如果Icap=2且在ρc＜σm ＜fk (受压区域) ，那么k(σm，k0)=ky

• 如果Icap=2且在fk＜σm ＜f0(Cap区域)，那么：

ky是材料参数，且有 0≤ky≤1。 当ky很高时会导致很高的屈服面。

比如，当使用 Icap=2 (考虑Cap模型)，ky=0.8和ky=0.6的屈服面的如下图显示。在LAW24卡片中的默认值是 0.5。

LAW24中使用非关联的塑性流动规则，塑性流动如下计算:

 I1 是应力第一不变量（即静水压力）。

试验表明参数α是k0的线性函数：

参数 αy 和 αf 适用于描述混凝土材料超过屈服而没有达到失效阶段。推荐分别使用 -0.2和 -0.1 。如果将αy，αf设置为非常小的值那么就不会有Cap区域。

混凝土压缩的失效曲线rf可以由下面的混凝土强度决定：

3D失效包络图确定的最佳方法是获取所有这些值（fc，ft，fb，f2，S0）的实验数据，试验如下图所示。

那么这些混凝土强度值fc，ft，fb 在平面 r-σm 中可以如下表示：

I1，J2 是应力第一第二不变量。材料超过失效面rf就失效了。

也可以在平面应力面上绘制破坏包络特征点：

或者以巴西试验为例，单元都在失效包络线处失效。

而仅是变化压缩强度 fc，那么不同混凝土材料的包络图如下图所示：

当混凝土的其他强度值fc，ft，fb，f2，S0不变，而仅是压缩强度变化，那么不同混凝土材料的包络图如下图所示：

混凝土的其他强度值不变，而在LAW24中变化拉压强度比值

那么不同混凝土材料的包络图如下图所示：

混凝土的其他强度值不变，而在LAW24中变化双轴和单轴压缩强度比值

那么不同混凝土材料的包络图如下图所示：

混凝土的其他强度值不变，而在LAW24中变化约束和不约束压缩强度比值

那么不同混凝土材料的包络图如下图所示：

在Radioss中，有两种不同的方法来模拟混凝土中的钢筋。

一种方法是使用梁或杆单元，并将梁或者杆单元的节点和实体混凝土的节点形成共节点来处理。

另一种方法是使用LAW24 中的钢筋的参数和使用各向异性的单元属性 /PROP/TYPE6 来定义钢筋的方向。

α1，α2，α3在LAW24 中定义1、2、3 方向上的钢筋横截面面积与整个混凝土截面面积的比例。

这里σy是钢筋的屈服应力，Et是钢筋的塑性阶段的切线模量。

模型采用mm, ms, g, MPa 单位制，LAW24材料参数根据文献[1]设置如下：

其他参数可以在 LAW24 中留为默认值，因为默认值代表通用混凝土材料。

相应的采用LAW81模拟混凝土的模型中，混凝土参数设置如下：

根据文献中的试验数据使用Altair Compose拟合了LAW81的下面这些参数：

下面再来看一下Kupfer[2]试验的数据：

上面的应力三轴度是静水压力和Von Mises应力的比例：

可以将Kupfer试验的数据在Von Mises和压力的图上如下表示出来，基于这个图我们可以用于材料数据的拟合和试验对标。

LAW24使用Ottosen三轴破坏面推导出的屈服面，它的失效的理论值可以通过下面的公式计算得到：

那么相应的LAW24的失效的理论值如下图所示：

LAW81使用Drücker-Prager Cap模型根据上面的介绍我们可以得到LAW81的理论值：

因此在这个示例中Cap部分的失效时的Von Mises应力:

【这两部分失效曲线如上图所示】

LAW24仿真结果：

LAW81的仿真结果：

上面两个图示中的直线是加载路线

最大值出现在应力比为0.1处，这与LAW24中设置的相吻合。下图是单轴拉伸试验T000中的应力应变曲线。

本文拟合脚本及例子数据下载链接：

https://nas.altair.com.cn:5001/fsdownload/avOmHGYOP/Radioss_Concret

[1] Han, D. J., and Wai-Fah Chen. "A nonuniform hardening plasticity model for concrete materials." Mechanics of materials 4, no. 3-4 (1985): 283-302.

[2] Kupfer, Helmut B., and Kurt H. Gerstle. "Behavior of concrete under biaxial stresses." Journal of the Engineering Mechanics Division 99, no. 4 (1973): 853-866.