大尺度湍流结构的生成和演化规律 | 流体力学

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热湍流 (浮力驱动湍流) 作为一种典型的湍流现象, 广泛存在于自然界和工程应用中. Rayleigh-Bénard (RB) 湍流是从众多自然现象中抽象出来研究热湍流的经典模型, RB湍流的典型特征是系统中存在大尺度环流和羽流等不同尺度的湍流结构, 这些结构通过作用于边界层, 影响 RB 湍流的输运效率. 因此, 明确不同尺度湍流结构的生成、演化和作用机理, 对理解 RB 湍流的输运特性至关重要, 也是通过控制湍流结构调控输运效率的科学基础。

RB湍流中的大尺度湍流结构

在充分发展的 RB 湍流中, 存在着一种与对流腔体尺寸相当的大尺度湍流结构, 即大尺度环流 (large-scale circulation). 大尺度环流最早由 Krishnamurti 和 Howard (1981) 于流动显示中观测到, 他们猜测大尺度环流是由与羽流相关的雷诺应力所驱动. 针对大尺度环流的驱动机理, Xia等 (2003) 利用二维粒子图像测速技术 (particle image velocimetry, PIV) 直接测量了矩形方腔RB 湍流中大尺度环流的湍动能产生项以及雷诺应力项, 揭示了大尺度环流的驱动机理是浮力差而非雷诺应力. 人们普遍关注的另一个问题是大尺度环流是如何形成的, Xi 等 (2004) 利用阴影法 (shadowgraph method) 和 PIV 直接观测了大尺度环流的形成过程, 他们发现当施加在对流腔体上的温差 ΔT 逐步增加时, 在上 (下) 板附近会形成许多相互独立的冷 (热) 羽流, 羽流在浮力的作用下运动, 并带动其周围的流体产生反向运动形成涡流, 在涡流的作用下, 冷 (热) 羽流无法继续保持已有的运动方向, 产生了水平速度, 开始左右摇摆着向下 (向上) 运动. 与此同时, 原先相互独立的冷热羽流在自身诱导产生的涡流作用下, 逐渐混合聚集, 形成更大尺度的涡流以及冷热羽流簇. 最终羽流通过自组织形成了准二维单环结构的大尺度环流. Xi 等 (2004) 的实验结果明确了大尺度环流中羽流的水平方向运动是由羽流之间的涡相互作用所触发的这一普适规律.最近, Xu , Chen 等 (2021) 通过数值模拟在二维圆形对流系统中也发现了类似的羽流自组织形成大尺度环流的过程, 然而由于对流腔体几何形状的区别, 在二维圆形对流腔体中自组织过程时间是矩形对流腔体中自组织过程时间的数倍甚至数十倍.

自1981年大尺度环流被发现以来, 人们对其进行了大量的实验和数值模拟研究, 尤其是对圆柱形对流腔体中的大尺度环流进行了广泛细致地研究, 这些研究涵盖了大尺度环流的特征速度与尺度与 Ra, Pr 之间的标度律关系以及大尺度环流的空间结构和运动模式等. 近十年来, 大尺度环流依然是 RB 湍流领域的研究热点, 尤其是在大尺度环流的运动模式方面, 人们有了更深刻地理解. 下面简要介绍大尺度环流的典型运动模式, 并详细地介绍近十年来 (准) 二维 RB 湍流中大尺度环流反转研究的新进展.

圆柱对流腔体中大尺度环流的运动模式

大尺度环流是一种准二维结构, 具有非常丰富的动力学特性. 在圆柱形对流腔体中, 由于旋转对称性, 大尺度环流能够以圆柱中心线为轴做角向旋转运动 (azimuthal rotation) , 且这种角向运动同时表现出快速转动 (fast rotation) 以及扩散漫动 (diffusive meandering) 的特征 (Brownet al 2005). 除了整体的角向运动, 大尺度环流自身还一直处于一种高度相干的三维振荡 (oscillation) 状态中, 其具体表现为: 大尺度环流靠近上板与下板附近的部分相对于中间高度的部分做周期性的周向扭摆 (azimuthal torsional oscillation) , 且靠近上下板附近的部分扭摆方向正好相反, 扭摆的周期约等于大尺度环流周转对流腔体一周的时间 (Funfschilling & Ahlers 2004); 此外,大尺度环流位于对流腔体中间高度的部分会围绕圆柱的中心做周期性的晃动 (sloshing oscillation) (Xi et al. 2009). 该晃动模式与靠近上下板附近的扭摆模式之间存在 π/2 的相位差. 最近Vogt 等 (2018) 使用液态金属 (Pr ≈ 0.028) 作为对流介质, 通过数值模拟和实验研究在√2≤ Γ ≤2 的圆柱形对流腔体中发现了一种全新的振荡模式: 即“跳绳涡结构” (jump rope vortex mode) ,他们认为该种大尺度湍流相干结构取代了原先的准二维大尺度环流. 这种“跳绳涡结构”存在着很强的三维运动, 其与 Γ = 1 的圆柱形对流腔体中大尺度环流的本质区别在于大尺度环流的涡心线不再是一条直线, 而是呈现弯曲状, 这种弯曲的涡线绕着腔体的中心运动, 就像跳绳的绳绕着手进行周期性的运动. 对此, Li 等 (2022) 通过 PIV 测量了 Γ = 2 的圆柱形对流腔体中多个平行竖直平面内的二维速度场, 他们发现“跳绳涡结构”实际上是大尺度环流结构的涡心沿着与大尺度环流流动方向相反的方向的偏心运动. 另外, 不同竖直平面上涡心偏心运动的程度不尽相同, 故整个大尺度环流的涡心连线呈现为“跳绳涡”结构. 然而对于这种 “跳绳涡结构”的产生与驱动机理尚不清楚.

除了角向运动以及三维振荡之外, 大尺度环流还会出现停滞 (cessation) 和反转 (reversal) 现象. 流动停滞是指流场从高度相干的大尺度环流变成了杂乱无序的混乱流动, 当停滞发生时, 大尺度环流面内的流动会突然停止, 一段时间后大尺度环流会在一个新的角向方位上重新形成. 如果新形成的大尺度环流的角向方位恰好与之前的角向方位相差 π, 则称这一次停滞事件为停滞引起的流动反转事件 (cessation-led reversal). 还有一类反转事件并非伴随着大尺度环流的停滞,而是大尺度环流通过快速的角向运动使其角向方位迅速发生相位差为 π 的转变, 这类反转事件被称为角向运动引起的反转事件 (reorientaion-led reversal) (Xie et al. 2013). 流向反转是流体力学中极为重要的一类问题, 很多湍流系统都存在着流向反转现象, 例如自然界中大气环流的反转、海洋环流的反转和由外地核对流反转所引起的地磁场的反转等. 因此, RB 湍流提供了研究流动反转现象的理想模型. Xi 和 Xia (2007) 发现在圆柱形对流腔体中相邻两次大尺度环流反转 (停滞) 发生的时间间隔满足指数分布, 即连续两次事件相互独立, 这与地磁场的反转规律相似, 说明 RB 湍流中的流动反转和外地核的对流反转可能由某种相似的机制所控制. 关于大尺度环流的反转与停滞频率, Xie 等 (2013) 在宽高比为 Γ = 1, 5.3 ≤ Pr ≤ 19.4 和 8 × 108 ≤ Ra ≤ 2 ×1011 的范围内发现反转和停滞的频率都接近于 1 次/天; 而 Xi 和 Xia (2007) 在 Γ = 0.5 的圆柱对流腔体内发现的大尺度环流停滞和反转的频率比 Γ = 1 的对流腔体中高 10 倍以上, 说明空间约束对大尺度环流停滞与反转有着显著影响.

（准）二维RB湍流中大尺度环流的反转

在圆柱形对流腔体中研究发现大尺度环流的反转受到其角向运动、三维振荡等其他运动模式的干扰. 而在 (准) 二维对流腔体中, 大尺度环流被限制在一个 (准) 二维平面上, 其角向运动、三维振荡等三维运动被极大地抑制. 因此, (准) 二维 RB 湍流系统是研究大尺度环流反转的理想系统, 这也是近几年流动反转现象实验和数值模拟研究关注的重点.

Sugiyama 等 (2010) 利用二维直接数值模拟和准二维 RB 湍流实验系统地研究了大尺度环流的反转机制, 他们发现大尺度环流反转的过程如下: 在呈椭圆状的大尺度环流短轴方向上存在着两个角涡 (图 1(a), 图1 (e)); 羽流不断地从边界层中脱离, 给予角涡能量, 使得角涡持续增长(图 1(b), 图 1(f)); 当角涡增长到足够大时便会挤压大尺度环流, 最终导致大尺度环流破裂; 随后两个角涡连接起来, 形成新的大尺度环流, 原先的大尺度环流受挤压一分为二变成新的两个角涡(图 1(c), 图 1(g)), 这样就完成了一次大尺度环流的反转. Sugiyama 等 (2010) 还发现在 Ra <2 × 108时, 相邻两次流动反转之间的时间间隔 t/tE 并不随着 Ra 的变化而发生较大的变化; 当 Ra >2 × 108时, t/tE 随着 Ra 的增加而急剧增加, 意味着流动的反转越来越难以发生, 这里 tE 是大尺度环流的环流时间, t 是相邻两次大尺度环流反转的时间间隔. 此外, 他们还在 Ra−Pr 相图中表征了能够发生流动反转的区间: 过大的 Pr 或者过小的 Pr 下反转都不能发生, 对于较小的 Pr, 大部分的热量通过热扩散的形式耗散; 而对于较大的 Pr, 热羽流由于热边界层埋在速度边界层之下难以发射, 上述两种情形都不利于角涡的增长, 因此反转将会被抑制. 该研究揭示了角涡增长与重新连接是 RB 湍流流动反转的普适机制.

Chandra 和 Verma (2011) 使用傅里叶模态分解的方法给出了 Pr = 1 时各种流动形态随 Ra的变化, 他们发现当 Ra >2 × 107时, 系统将由 (1,2) 模态 (竖直堆叠的两个涡) 占主导的情形转变到 (1,1) 模态 (对应大尺度环流) 占主导且 (2,2) 模态 (对应角涡) 涌现的情形. 他们认为 Ra >2 × 107时 (2,2) 模态的涌现促使了反转的发生, 这也解释了为什么之前发现的反转只能在特定的 Ra−Pr 区间内发生. Chandra 和 Verma (2013) 通过数值模拟验证了上述角涡重连的反转过程.随后, Castillo-Castellanos 等 (2016) 利用数值模拟进一步研究了反转的过程, 他们借鉴了地质学中研究地磁场反转的方法 (Valet et al. 2012), 将每一次反转事件通过相应的特征时间进行归一化, 然后分别从全局角动量、可用势能以及全局动能这三个角度出发, 提出一个完整的反转过程应经历积聚 (accumulation) 、释放 (release) 以及加速 (acceleration) 三个阶段. 这三个阶段分别对应 Sugiyama 等 (2010) 提出的反转过程中的角涡增长、角涡挤压大尺度环流并重连以及形成新的大尺度环流这三个阶段. 有趣的是, 已有研究发现地磁场的反转过程也存在类似的三个阶段, 即预备阶段 (precursory event) 、极性反转阶段 (polarity switch) 以及反弹阶段 (rebound)(Valet et al. 2012). Xi 等 (2016) 通过分析实验得到的大量的反转事件, 获得了反转发生过程中系统热输运效率的演化规律. 他们发现 Nu 在大尺度环流完成反转之前有大幅下降, 而后在反转完成之后出现一次明显的跃升; 与此同时, 流动主模态 (大尺度环流流态) 的幅值在反转时逐渐降到零, 此时高阶模态尤其是二阶模态主导了整个流动. Nu 的下降以及跃升、高阶模态的演化与地磁场反转过程中的预备阶段和反弹阶段所展现出来的虚地磁极 (virtual geomagnetic pole)纬度以及磁场强度的波动、大幅值的非偶极磁场 (non-dipole field) 模态的涌现十分类似. Xu 等(2020) 对流动反转现象的数值模拟研究也展现了反转过程中类似的热输运演化规律. 此外,Huang 和 Xia (2016) 针对大尺度环流反转的统计特性进行了细致的实验研究, 他们发现在准二维矩形腔体中, 相邻两次反转之间的时间间隔同样满足泊松分布, 这与圆柱形腔体中的反转一致, 表明在准二维矩形腔体中大尺度环流的反转现象与在圆柱形腔体中的反转现象有着同样的动力学行为.

角涡增长并重新连接这一反转机制被大家广泛认可, 但是角涡的出现或者说这一特定的反转过程是否只是在特定对流腔体几何条件下的特例？Wang, Lai 等 (2018) 利用专门设计的圆盘形对流腔体尝试解答这些疑问. 圆盘形对流腔体适配了大尺度环流的几何形状, 理论上应该不会出现由于骤然过渡的边界而诱发的回流角涡, 那么角涡增长、挤压破碎和重连的反转过程便不会发生. 然而 Wang, Lai 等 (2018) 的实验结果表明, 即使在圆盘形对流腔体中, 流向反转依然可以发生, 且反转过程依然符合泊松过程 (图2 ). 对此, 他们提出了两种可能的反转机制: 一种是反转现象单纯是由湍流脉动引发; 另一种是在大尺度环流平稳运动期间, 热量在系统内不断积聚,当系统达到一个临界点时, 边界层将会对扰动变得十分敏感, 此时小的扰动可能会触发大规模的羽流发射, 从而导致流动反转 (图2 ). 第二种机制与 Castillo-Castellanos 等 (2016) 基于能量角度提出的反转三个阶段类似. 随后, Xu 等 (2021) 利用数值模拟详细研究了二维圆盘中的大尺度环流及其反转. 他们发现在 Ra 较低时, 即使是圆盘对流系统, 角涡仍然存在; 随着 Ra 的增加, 角涡的尺寸逐渐减小. 与此同时, 反转的发生与角涡的增长依然相关, 即角涡增长、重连这一反转过程依然适用于圆盘对流系统. 他们猜测在 Wang, Lai 等 (2018) 的实验中, 角涡可能依然存在, 只是在相对高的 Ra 下, 角涡的尺寸十分小以至于在阴影法拍摄下无法清晰地被观察到. 类似的流场结构在 Kar 等 (2020) 的工作中亦有报道.

另外一个值得研究的问题是流动反转频率 f 与 Ra 之间存在什么关系？Chen 等 (2019) 通过大量的实验测量发现流动反转频率在不同的 Ra 区间内呈现不同的标度律关系, 且标度律发生转变的临界 Ra 数与 Pr 数相关 (见图 3(a)). 通过进一步的速度测量, 他们发现流动反转频率下降和标度律转变均起源于大尺度环流流动结构从“反常单环结构” (图 3(c)), 转变到 “正常单环结构” (图 3(b)). 他们的结果表明大尺度环流自身的稳定性是控制其反转的关键因素. 同时, 为了研究角涡在大尺度环流反转过程中所发挥的作用, Chen 等 (2020) 通过在对流腔体中引入结构，消除了角涡对大尺度环流的影响。对比图 4(a) 和图 4(b) 可以看出该结构可以有效的隔离角涡与大尺度环流的相互作用. 他们通过大量长时间的实验测量发现尽管没有角涡的参与, 流动反转依然可以发生. 与此同时, 反转频率随着 Ra 数的转变以及流动结构从“反常单环结构”到正常单环结构”的转变仍然存在. 基于不同的反转机制, 他们将反转分成两类: 一类为大尺度环流自身导致、角涡未参与的反转模式; 一类为角涡参与的反转模式. 他们发现在有角涡的正常对流腔体中大尺度环流自身导致、角涡未参与的反转频率与无角涡腔体中基本一致. 通过上述的一系列研究, 人们对大尺度环流的反转机制以及角涡在反转过程中的角色有了更好地理解, 即角涡的存在会导致大尺度环流反转频率的提升, 但是真正控制流动反转的仍然是大尺度环流自身的稳定性.

除了上述在 Γ = 1 的 (准) 二维对流腔体中研究大尺度环流反转的工作, 还有很多学者在大度湍流结构其他方面做出了一些工作. Huang 等 (2015) 利用实验研究了不同温度边界条件对于大尺度环流反转的影响. 他们发现当上下壁面都施加恒定温度边界条件之后, 反转频率相比较于传统实验所施加的上壁面恒定温度、下壁面恒定热通量的情况有了明显的提升. 基于此, 他们认为大尺度环流的反转是一个对流系统自发恢复其对称性的过程, 更加对称的边界条件更有利于系统恢复自身的对称性. Huang 和 Xia (2016) 利用实验, 详细研究了准二维矩形腔体中厚度的减小会对大尺度环流反转的影响, 他们发现由于厚度方向尺寸的限制使得壁面摩擦效应变得显著, 大尺度环流流动强度减弱, 会有更多的羽流从腔体中央通过, 从而使得流动反转频率最大可以提高三个数量级. 此外, Xia 等 (2016) 利用直接数值模拟详细地研究了非 OB 效应 (non-Oberbeck-Boussinesq effect) 对于大尺度环流反转的影响. 他们发现此时大尺度环流的反转主要由冷板一侧的角涡增长引起, 单边的角涡增长则是由于非 OB 效应下浮力以及黏性力的不对称性引起的. Wang, Xia 等 (2018) 利用数值模拟研究了倾斜效应对大尺度环流反转的影响, 他们发现在 Γ = 1 时, 对流系统的倾斜会极大地抑制大尺度环流的反转, 而在 Γ = 2 时, 对流系统的倾斜反而会促进大尺度环流的反转. 他们认为这与不同 Γ 时存在不同的大尺度环流结构相关: 在Γ = 2 的对流系统中, 大尺度环流由两个水平排列的涡组成, 同时在同一高度的两个角上存在两个小的角涡. 因此, 当对流系统倾斜时, 在浮力的作用下, 总会引发其中的一个角涡增长, 从而引起整个大尺度环流的反转. 此外, Zhang 等 (2020) 通过在边壁上施加温度控制实现了对流动反转的主动控制, 他们发现在边壁上施加不同的温度控制既可以实现反转频率的增加, 也可以实现反转的完全抑制.

近些年涌现出了很多关于大尺度环流反转的实验和直接数值模拟研究结果, 然而对于大尺度环流反转的理论研究却进展不多. 早期基于有限的对于反转观测的实验结果, 人们分别提出了基于随机微分方程 (Benzi 2005, Sreenivasan et al. 2002) 或者确定性微分方程 (Araujo et al. 2005)的大尺度环流反转模型. 这些模型都可以很好地还原出大尺度环流在两种流动状态之间的转换.但是这些方程的推导没有从控制方程出发, 仅从数学模型的角度还原了两态之间的相互转换, 因此无法通过实验定量地验证. 最近, Ni 等 (2015) 在 Brown 和 Ahlers (2007) 建立的包含两个随机常微分方程的大尺度环流动力学模型的基础上, 基于角涡在反转过程中的重要性引入了角涡对大尺度环流的扰动项, 建立了适用于准二维热湍流系统中大尺度环流反转的随机性动力学模型.Ni 等 (2015) 提出的动力学模型从运动方程出发, 很好地重现了热湍流中大尺度环流的两种流动状态, 同时, 对于大尺度环流反转频率的预测也与实验数据吻合得很好. 他们指出在 (准) 二维热湍流系统中, 对大尺度环流的减缓 (damping) 主要来源于角涡. 这一点显著区别于圆柱形对流系统, 人们普遍认为圆柱对流腔体中大尺度环流的减缓来自于边壁 (Sreenivasan et al. 2002), 而其产生的角涡主要起到了推动大尺度环流平面转动的作用 (Sun et al. 2005). 因此, 无论是圆柱形对流系统还是 (准) 二维对流系统中, 通过一系列的实验和数值模拟的研究, 可以认识到大尺度环流本身的稳定性是决定反转是否发生的关键因素, 能否减缓大尺度环流对反转的发生至关重要. 无论是边壁的阻尼还是角涡都通过减缓大尺度环流从而促进反转.

对于大尺度环流反转的研究还有很多工作可以开展. 自然界对流系统中的流向反转, 无论是大气环流的反转、海洋环流的反转还是生成地磁场的外地核中的流动反转, 所涉及到的物理机制、边界条件相比较于标准的 RB 湍流要更加复杂. 因此, 之后对于大尺度环流反转的研究, 应该更加偏重于这些方面的探索, 例如: 大气与海洋、地幔与外地核的界面应为部分滑移的边界条件, 那么滑移边界条件对于大尺度环流的反转、大尺度环流的动力学行为会有什么影响呢？在这个方面, Xie 和 Xia (2013) 研究了由两层互不相溶的流体构成的热湍流系统中大尺度环流的动力学特性, 发现了大尺度环流的黏性耦合和热耦合模式. 由于流动耦合模式的变化, 大尺度环流的反转频率也发生了显著改变. 外地核中除了极低的 Pr 数之外, 整个对流系统还处于强磁场之中, 那么地磁场对于外地核流向的反转是起到促进的作用还是抑制的作用？海洋中除了密度差之外还存在着盐度差, 即双扩散对流 (Yang, Chen et al. 2020), 在该系统中流动反转又有哪些规律呢？另外, 地球或者天体系统中的对流往往呈现出大宽高比的特性, 以后的研究也应该多关注于大宽高比下多个涡之间相互作用下的流动反转. 因此, 尽管对于大尺度环流反转的机制已经有了比较丰富的认识, 关于大尺度环流结构与动力学还有很多方面值得探索.

节选自谢毅超，张路，丁广裕，陈鑫，郗恒东，夏克青.热湍流研究的新十年:从聚焦传统到延伸拓展.[J].力学进展

来源：多相流在线