经典局部理论和连续介质的非局部理论：近场动力学 vs 连续介质力学
1. 经典局部理论
1.1失效预测方面的缺陷
1.2改进方法
2. 连续介质的非局部理论
2.1 近场动力学理论基础
2.2 特点与现状
3. 参考文献
以上则是本期推送的目录，内容很多，文字量较大。
1. 经典局部理论
经典理论中的基本假设之一是它的局部性。经典连续介质理论假设一个质点仅与其直接相邻的点有相互作用，因此它是一种局部理论。质点之间的相互作用由各种平衡法则控制。局部模型中的质点只与最靠近的质点进行质量、动量和能量的交换，所以在经典力学中某点的应力状态仅取决于该点处的变形。但是，该假设的有效性在不同的研究尺度下是存疑的。在宏观尺度下，该假设一般来说是可接受的。然而，原子理论清楚地表明了远程力的存在，当几何长度尺寸变得越来越小，并接近于原子尺度时，局部作用的假设就会失效。甚至在某些宏观尺度下，局部作用的有效性也有待确定，例如微小的特征与微观结构对整个宏观结构产生的影响。
尽管已经发展了许多重要的概念来预测材料中裂纹的萌生及扩展，但在经典连续介质力学框架中，这仍然是具有挑战性的课题。其主要困难在于数学方程假设物体产生变形时仍然保持连续。因此，当物体中出现不连续时，方程的基本数学架构就会失效。在数学上，经典理论是通过空间偏微分方程表述的，而空间偏导数在不连续处不存在，这导致了经典理论的一个固有缺陷，即当不连续现象（如裂纹）出现时，控制方程中定义的空间导数就失去了意义。
1.1 失效预测方面的缺陷
Griffith(I921)的开创性研究建立了线弹性断裂力学（linear elastic fracture mechanics,IEFM)的概念，他在经典连续介质力学范畴内推导出的裂纹应力场具有奇异性。在LEFM中，必须给材料定义一个初始裂纹，并且裂纹尖端的应力场在数学上是奇异的。因此，裂纹萌生和裂纹扩展需要分别引入外部准则进行处理，如临界能量释放率，它们并不是经典连续介质力学控制方程的一部分。此外，LEFM中的裂纹成核仍是一个尚未解决的问题。
由于存在奇异应力，因此精确计算应力强度因子或能量释放率非常困难，因为它们取决于所加载荷、几何结构以及数值求解方法。除了需要裂纹萌生的外部准则，还需要一个确定裂纹扩展方向的准则。由于存在一系列与晶界、位错、微观裂纹、各向异性等相关的多种机制，每一个特征都在特定长度尺寸上起重要作用，因此理解并预测材料失效的过程相当复杂。
许多实验表明，带有较小裂纹的材料会比带有较大裂纹的材料表现出更高的抗断裂性能，而利用经典连续介质理论得到的解都与裂纹的尺寸无关(Eringen等人，l977)。此外，对于弹性体中短波长弹性平面波的传播，经典连续理论预测其不会发生频散，而实验却给出了不同的结果(Eringen 1972a)。在经典（局部）连续介质理论中，连续体中的一个质点只受到紧邻质点的影响，因此理论中不包含可以区别不同尺度的长度参量。
尽管经典连续介质理论不能区分不同的尺度，但它还是可以分析一些失效过程，并可以应用于广泛的工程问题，特别是采用有限元法（finite element method,FEM).FEM特别适合求解应力场，并且非常适合模拟具有复杂几何形状和不同材料组分的结构承受各种载荷的情况。但是，有限元法的控制方程是根据经典连续介质力学推导而来的，所以它也同样存在裂纹尖端或裂纹表面处空间导数不存在的问题。
当LFEM引入FEM时，通常需要采用特殊的单元来获得正确的裂纹尖端奇异行为（数学伪像）。在传统有限元法中，通过重新定义物体来修正由裂纹扩展产生的位移场不连续，即把裂纹定义为边界。
断裂力学领域主要关注的是一个物体内原有裂纹的演化问题，而不是新裂纹的形成。即使在求解裂纹扩展问题时，传统的有限元法也存在固有的缺陷，即每次裂纹扩展后都需要对网格重新进行划分。除了需要重新划分网格，还需要为现有的模拟断裂方法提供控制裂纹生长的动力学关系数学表达式，来描述裂纹在局部条件下如何扩展。通过这个表达式确定裂纹的起始时间，扩展的速率，扩展的方向，是否会发生转向、分支、振荡、停止等。考虑到从实验中获得和梳理断裂数据的难度，提供这样的裂纹生长的动力学关系显然是应用传统方法模拟断裂的主要障碍。考虑到裂纹尖端存在奇异性、需要借助外部准则、无法处理裂纹萌生问题以及需要重新定义物体等困难，对于多个相互作用的、扩展方式复杂的多裂纹问题用传统有限元法几乎是不可能解决的。
1.2 改进方法
已有许多基于LEFM改进传统有限元法不足的相关研究。其中Dugdale(1960)和Barenblatt(1962)提出的内聚力概念相对于其他断裂准则得到了更多的认可。计算断裂力学的重要突破之一是Hillerborg等人(1976)针对I型断裂模式，以及Xu和Needleman(1994)针对复合断裂模式引入的内聚区单元(cohesive zone elements,CZE)。材料界面用面力-位移(traction-separation)关系来模拟，即当位移(separation)达到某个临界值时，面力(traction)为零。内聚力单元通常设置在单元表面，裂纹只能在传统（常规）单元之间发生扩展。因此材料的力学响应同时表现出常规单元和内聚力单元的特征，引入内聚力单元仅仅用于生成断裂行为。随着网格尺寸的减小，内聚区单元数量需要增加，但连续体的大小不变。因此，随着网格尺寸的减小材料出现软化现象。此外，网格划分的纹理会造成各向异性，导致计算的网格依赖性。裂纹扩展路径高度依赖于网格划分的纹理和排列(Klein等人，2001)，并且在裂纹路径未知时就要重新划分网格。
解决这些难题的一种技术途径是扩展有限元法（extended finite element method,XFEM),它可以模拟裂纹与裂纹生长，并且不需要重新划分网格(Belytschko和Black,1999;Moes等人，1999)。该方法允许裂纹在单元内任意表面扩展，而不是仅仅沿着单元边界扩展，所以它消除了内聚区单元对于新断裂面方向的限制。XFEM是基于有限元的单元分解法建立的（Melenk和Babuska,1996),它在标准有限元法的基础上引入了额外的节点自由度和局部强化函数(enrichment function),也称加强函数或增强函数。这些强化函数含有不连续位移场，可以表征裂纹面两侧的位移不连续性，还含有LEFM裂纹尖端位移场基函数，用于表征裂纹尖端的变形。此外，因为只需要对被裂纹分割的单元节点进行强化，所以附加的自由度可以尽可能少(Zi等人，2007).Zi等人(2007)的研究工作表明，裂纹尖端所在单元的相邻单元由于受到部分强化，因此这些单元不能保证单元分解法的成立。所以，在混合区域内的解不准确，这也阻碍了该方法在具有复杂裂纹形态的多裂纹扩展和相互作用问题中的应用。虽然XFEM已成功应用于许多断裂问题，但是对于引入不连续位移场的强化，需要外部的准则。
在经典连续介质力学中遇到的一些困难可以通过分子动力学仿真(molecular dynamics simulations,MDS)或是原子晶格模型的方法解决。原子
尺度的仿真无疑是最细致和最真实的预测材料断裂的方法（Schlangen和van Mir,1992),它利用原子间作用力模拟裂纹的萌生与扩展。但是，原子尺度的研究重点是理解动态断裂基本物理过程的原理，而不能预测其过程（Cox等人，2005)。这一限制的主要原因来自计算资源。近年来，随着计算机技术的进步，大规模分子动力学仿真逐渐成为可能。例如，Kadau等人(2006)使用了3200亿个原子对一块边长为1.56微米的立方体铜块进行模拟。然而，这样的长度尺度对于现实生活中的工程结构来说仍然非常小。此外，由于时间步长很小，原子模拟的时间跨度受到严格的限制，因此大部分的仿真都是在很高的加载速率下进行的，并且目前还不清楚人为提高速率导致的高应力水平断裂过程是否能够反映低速率时的情况。
在原子晶格模型的启发下，晶格弹簧模型(lattice spring model)用离散点来表征材料，离散点之间通过弹簧或者流变单元进行相互作用，这种方法可以消除原子尺度方法在大尺寸结构仿真中的不足之处(Ostoja-Starzewski2002)。晶格点之间的相互作用可以是只包含最近点的短程力，也可以是包含更远，点的远程力（非局部）。此外，晶格的位置可以是周期性的或者无序的，周期性的晶格有三角形、正方形、蜂窝状等。但是，周期性的晶格会使材料弹性属性产生方向依赖性。适用于某种晶格类型的相互作用力不能直接用于其他类型的晶格，而且也不清楚对于某一特定问题，哪种晶格类型最为合适。
因此，原子尺度的仿真方法显然不足以模拟现实结构的断裂过程。物理学家们的实验还表明内聚力在原子间的一定距离内有作用，而经典连续介质理论中则缺少一个内在的长度参数，适用于不同尺度的模型，因为它只对波长较长的情况才有效(Eringen 1972a)。所以，为了能够考虑远程作用，Eringen和Edelen(1972)、Kroner(1967)、Kunin(1982)引入了连续介质的非局部理论。
2. 连续介质的非局部理论
连续介质的非局部理论建立了经典连续介质力学与分子动力学之间的联系。在局部（经典）连续介质模型中，质点的状态受到它紧邻质点的影响；而在非局部连续介质模型中，质点的状态受有限半径区域内质点的影响。如果作用半径变得无限大，则非局部理论的模型就变成了连续情况下的分子动力学模型。所以，连续介质的非局部理论建立了经典（局部）连续介质力学与分子动力学模型之间的联系。局部和非局部连续介质模型以及与分子动力学模型之间的关系。如图所示。
图：局部与非局部连续介质模型的关系
任意质点x与距离δ范围内的其他质点产生相互作用，与点x的距离小于δ的质点称为x的族，记为Hx。在经典连续介质力学的范畴内，x族中的质点的个数对应于一维、二维和三维分析，分别是3、5和7个（包括其本身）。
已有多种非局部理论，这些非局部理论包含了高阶位移梯度和空间积分。Eringen和Edelen(l972)、Eringen(1972a,b)的早期研究得到了一种用平衡定律与热力学表述的连续介质的非局部理论。然而，得到的方程颇为复杂，后来他们简化了理论，在本构关系中考虑非局部性，并保留了平衡方程和运动方程的局部形式(Eringen等人，l977)。目前，大多数非局部理论都是通过本构关系考虑非局部性的。一方面，在一般情况下，连续介质力学中的积分型非局部材料模型中存在一个本构定律，通过它将质点处的力（应力）与一定距离外的其他质点的变形（应变）的加权平均值联系起来。另一方面，梯度型的非局部模型考虑了质点紧邻区域内物理场的高阶导数，类似于局部本构定律中应变的一阶导数。这两种类型的非局部模型都有一个相关的特征长度，它与粒子尺寸、断裂过程区尺寸和孔隙尺寸等物理长度有关。
连续介质的非局部理论不仅能描述宏观效应，而且可以描述分子尺度与原子尺度的效应。Eringen(I972b)表明非局部模型可以预测很广的波长范围。非局部理论仍然假设介质为一个连续体，但当考虑远程效应时，它比分子动力学的计算需求更低。由于经典理论是原子理论的长波极限，因此非局部理论可以描述经典长波极限到原子尺度的变形。根据Bazant和Jirasek(2002)的研究，在连续介质力学中有很多需要采用非局部方法的情况。例如，可以捕捉微观结构非均质性对小尺度连续体模型的影响。尺寸效应也需要用非局部模型来捕捉，比如在实验和离散模型中观察到名义强度对于结构尺寸的依赖性，而这一特性通过局部模型无法得到。微裂纹现象也表现出非局部性。实验观察到了分布的微裂纹现象，然而，由于微裂纹的扩展不是由局部变形或局部应力决定的，因此用局部模型进行数值模拟很有挑战性，甚至不可能。有证据表明，微裂纹的特性不仅与微裂纹中心的局部变形有关，而且与微裂纹邻域内产生的变形有关（Bazant 1991)。
非局部理论还可以拓展到用于预测裂纹扩展。Eringen和Kim(1974a,b)的研究表明由于该理论具有非局部性质，因此裂纹尖端的应力场在接近裂尖时是有界的，而不是像经典连续介质理论预测的无限大。Eringen和Kim(1974)还提出了一个自然断裂准则，将最大应力等同于使原子键连接在一起的内聚应力。该准则可以用于连续介质的任意位置，且不需要区分不连续性。尽管他们的非局部理论得出了裂纹尖端具有有限的应力，公式中仍保留了位移场导数。
后来，Eringen和他的同事(I977)将他们的非局部理论应用于Griffith裂纹的建模。连续介质的非局部理论通过裂纹尖端预测得到具有物理意义的有限应力场，使得连续介质的非局部理论相对于局部理论在研究断裂问题时的优势更加明显。这是由于局部理论预测的裂纹尖端应力为无限大，而无限大的应力是没有物理意义的，因为没有材料可以承受无限大的应力。此外，Ari和Eringen(1983)的研究表明，使用非局部弹性模型的Griffith裂纹分析结果与Elliott(1947)给出的晶格模型是一致的。尽管如此，由于他们的模型控制方程使用空间导数的形式表示，所以在裂纹处仍然没有意义。事实上，大部分非局部模型在不连续处（如裂纹）仍然会失效，因为它们和经典局部理论类似，方程包含了空间导数。比较典型的做法是在非局部模型在应力-应变关系中，通过对应变进行平均而考虑非局部性的影响(Eringen等人，l977;Ozbolt和Barant,.l996)或者在标准本构关系的基础上增加应变导数，于是都存在空间导数。
由Kunin(1982,1983)和Rogula(1982)提出的另一种类型的非局部理论规避了这个难题，因为其使用了位移场而不是它们的导数。然而，Kunin(1982)和Rogula(1982)提出的这个理论只适用于一维介质。Kunin(1983)通过将连续介质近似为离散晶格结构，导出了一个三维非局部模型。最近，Silling(2000)提出了一个不需要空间导数的非局部理论，即近场动力学(Peridynamics,PD)理论。与之前Kunin(1982)和Rogula(1982)提出的非局部理论相比，PD理论更具普适性，因为它除了一维介质之外还考虑了二维和三维介质。与Kunin(1983)的非局部理论相比，PD理论提供了关于位移的非线性材料响应。此外，PD理论中的材料响应还包含了破坏。
2.1 近场动力学理论基础
鉴于局部和非局部理论的不足之处，Silling等人(2000,2007)提出了非局部的近场动力学理论来处理不连续问题。与Kunin(1982)提出的非局部理论类似，在近场动力学理论的公式中使用的是位移而不是位移导数。基本上，近场动力学理论重新构建了固体力学运动方程，使它更适合于模拟具有不连续性（如裂纹）的物体。该理论采用了可应用于不连续体的空间积分方程，这与经典理论中使用的偏微分方程不同，后者在不连续处没有定义。而近场动力学控制方程在裂纹表面处有定义，并且材料损伤也是近场动力学本构关系的一部分。这些特性使之可以模拟裂纹萌生以及裂纹沿任意路径扩展的情况，并且不需要进行特殊的裂纹扩展。此外，不同材料之间的界面也具有自己的特性。
在近场动力学理论中，质点之间通过指定的响应函数直接相互作用，响应函数包含了所有与材料相关的本构信息。响应函数还包含内部长度（近场范围）参数6。相互作用的局部性取决于作用范围的大小，随着作用范围减小，相互作用也变得更加局部化。因此，经典弹性理论可以认为是近场动力学理论的内部长度趋近于零时的一个极限情况。已经有研究证明通过选择适当的响应函数，近场动力学理论可以退化为线性弹性理论（Silling等人，2003;Weckner和Abeyaratne,2005).Silling和Bobaru(2005)给出的另一个极限情况是当内部长度趋近于原子间距离时，范德华力可以作为响应函数的一部分来模拟纳米级结构。因此，近场动力学理论能够将纳米尺度与宏观尺度的问题结合起来。与基于经典连续介质力学的方法相比，PD理论模拟材料损伤的方法更接近真实。随着质点之间相互作用的消失，质点之间的作用断开，连续的断开则形成裂纹，并且在这一过程中积分方程仍具有有效性。
2.2 特点与现状
近场动力学理论与经典连续介质力学的主要区别在于前者的方程采用积分形式，而后者的方程采用位移分量的导数。积分方程的特性允许损伤在材料的多部位萌生，并沿任意路径扩展，而不需要采用特殊裂纹扩展准则。在近场动力学理论中，内力通过连续体内质点对之间的非局部相互作用表达，损伤也是本构模型的一部分。不同材料之间的界面也具有本身的特性，损伤可以在任何能量有利的时间与地点传播。PD理论能够建立起不同尺度之间的联系，可以认为是MDS的连续体版本。它具有在统一的框架下解决多物理场和多尺度断裂预测的能力。
Silling(2000)证明了近场动力学理论解释物理现象的能力。Silling在近场动力学理论的范围内研究了线性应力波的传播和波的频散，以及裂纹尖端的形状。近场动力学中长波长的线性弹性波与经典理论中的一致。在小尺度上，通过近场动力学理论预测得到，并在真实材料中发现的非线性频散曲线，不同于经典弹性理论所预测的曲线。在裂纹尖端研究中，近场动力学理论预测得到尖锐的裂纹尖端，而不是LEFM中得到的抛物型裂纹尖端。LEFM中的抛物型裂纹尖端与裂纹尖端处无物理意义的无限应力有关。
Silling(2000)最初提出的近场动力学公式后来命名为“键型近场动力学理论”，该理论基于成对质点之间相互作用力大小相等的假设，导致了对材料属性的约束，例如要求各向同性材料的泊松比为1/4。而且键型PD方法不能区分体积变形和几何形状的变化，因此不适合用来描述塑性不可压缩性条件，也不能利用现有的材料模型。
为了去除对材料属性的限制，Gerstle等人(2o07)引入了“微极(micropolar)近场动力学模型”，他们在键型近场动力学对点力的基础上增加了成对力矩。虽然这个模型克服了各向同性材料的约束限制，但不清楚是否也能描述不可压缩性条件。因此，Silling等人(2007)引入了一个更通用的公式，创建了“态型近场动力学理论”，消除了键型近场动力学的局限性。态型PD理论基于近场动力学状态概念，它包含了有关近场动力学相互作用信息的无限维数组。Silling(2010)还通过引入“双重状态”概念，将态型PD理论扩展到解释质点之间的间接相互作用对其他质点的影响。最近，Lehoucq和Sears(2011)利用经典统计力学原理导出了近场动力学理论的能量和动量守恒定律。他们指出非局部的相互作用是连续体守恒定律所固有的特性。最近，Silling(2011)还通过引入“粗粒化方法”扩展了PD理论在不同尺度的应用。根据这种方法，可以通过一致的算法将较低级尺度的结构性质反映到高级尺度中。
近场动力学理论并不涉及应力和应变的概念，然而也可以在PD框架内定义应力张量。Lehoucq和Silling(2008)从非局部的PD相互作用导出了PD应力张量。应力张量由通过质点体积的PD力获得。Silling和Lehoucq(2008)研究表明，对于足够平滑的运动，一个本构模型以及任何存在的非均质体，在近场范围收敛到0的极限情况下，PD应力张量收敛到Piola-Kirchhoff应力张量。
近场动力学理论的积分-微分方程很难解析求解。然而一些文献也报道了少量的解析解。例如，Silling等人(2003)研究了承受自平衡分布载荷的无限长杆的变形，通过傅里叶变换，求得了线性Fredholm积分方程形式的解析解。该解揭示了经典理论无法得到的有趣结果，包括位移场的衰减振荡和在加载区域外传播的逐渐减弱的不连续现象。Weckner等人(2009)也使用拉普拉斯和傅里叶变换，并利用格林函数求得了三维PD解的积分表达式。Mikata(2012)采用该方法独立研究了一维无限杆的蠕动和近场动力学解，发现近场动力学能够表示某些特定波数负群速度，即可以用来模拟特定类型的不规则频散介质。
近场动力学不仅可用于线弹性材料行为，而且可用于非线性弹性（Silling和Bobaru,2005)、塑性(Silling等人，2007;Mitchell,2011a)、黏弹性（Kilic,2008;Taylor,2008;Mitchell,2011b)和黏塑性(Taylor,2008;Foster等人，2010)材料行为。Dayal和Bhattacharya(2006)用近场动力学理论研究了固体中相变的动力学问题。他们通过将成核视为动力不稳定的导出了成核准则。
求解PD方程需要在时间和空间上进行数值积分，可以采用简单的显式高斯求积技术求解。Silling和Askari(2005)介绍了这些技术及其在近场动力学中的应用，还给出了时间积分收敛的稳定性准则，并讨论了空间积分均匀离散化（网格）的精度。随后，Emmrich和Weckner(2007)提出了不同的空间离散化方
案，并用一维线性微弹性材料的无限长杆进行验证。最近，Bobaru等人(2009)以及Bobaru和Ha(2011年)研究了非均匀网格和非均匀近场范围的空间积分。为了提高时间积分的数值精度和效率，Polleschi(2010)提出了一种时间积分的显式一隐式混合方法，时间步长的积分是显式的，每一时间步中有一个隐式循环。类似地，Yu等人(2011)提出了一种自适应梯形积分方法，采用相对-绝对误差综合控制。此外，Mitchell(2011a,b)采用了隐式时间积分方法。
虽然PD运动方程包含了惯性项，但如Kilic和Madenci(2010a)所展示的，通过适当的方法可使惯性项消除，也可用于准静态问题的分析。同时，Wang和Tian(2012)介绍了一种快速Galerkin方法，具有很高的矩阵组集和存储效率。
PD参数决定了非局部性的程度，即近场范围(horizon);因此，选择合适的尺寸来获得准确的结果并代表实际的物理意义至关重要。在最近的一项研究中，Bobaru和Hu(2012)讨论了PD理论中近场范围的含义、选择和使用方法，并解释了什么条件下裂纹的扩展速度与近场范围的大小有关以及入射波对扩展速度的作用。PD理论中的影响函数是另一个重要参数，决定了质点之间相互作用的强度。Seleson和Parks(2011)通过简单一维模型中波的传播和三维模型
中的脆性断裂研究了影响函数的作用。
PD方程的空间积分非常适合并行计算。然而，负载分布是获得最有效的计算环境的关键问题。Kilic(2008)提出了一种有效的负载分布方案。此外，Liu和Hong(2012a)证明了采用图形处理单元(GPU)架构可以达到同样的目的。
PD理论允许裂纹的萌生和生长。Silling等人(2010)建立了弹性体中出现不连续（裂纹成核）的条件。裂纹生长需要一个材料失效临界参数。Silling和Askari(2005)最先对于脆性材料提出的失效参数为“临界伸长率”，它可以与材料的临界能量释放率相联系。Warren等人(2009)指出非常规态型PD理论可以基于临界等效应变（剪切应变的量度）或体积应变(dilatation)的平均值来捕捉断裂。Foster等人(2011)提出用临界能量密度替代临界参数，并将其与临界能量释放率联系起来。如Siling和Lehoucq(2010)以及Hu等人(2012b)所展示的，PD理论还可以计算J积分值，这是断裂力学的一个重要参数。
Silling(2003)研究了Kalthoff-Winkler实验，该实验中对一个具有两个平行缺口的平板进行冲击，近场动力学模拟成功地捕捉到了实验中观察到的裂纹扩展的角度。Silling和Askari(2o04)还给出了包括Charpy V形缺口实验的冲击损伤模拟。Ha和Bobaru(2011)成功地模拟了在实验中观察到的各种动态断裂特性，包括裂纹分支、裂纹路径不稳定等。此外，Agwi等人(2011)将他们的PD分析结果与扩展有限元法(XFEM)和内聚力模型(CZM)预测的结果进行比较，所有的方法计算得到的裂纹扩展速度都在同样的数量级上；然而，PD预测到的断裂路径更接近实验观察到的结果，其中包括分叉行为和微观分叉行为。
PD理论描述了局部失效（如裂纹生长）与结构稳定性导致的总体失效之间的相互作用。Kilic和Madenci(2009a)研究了带缺口（裂纹初始点）的矩形柱在压缩载荷下以及受约束的平板在均匀温度载荷下的屈曲特性，后者的分析利用了几何缺陷触发侧向位移。
PD理论还允许存在多个载荷路径，如冲击后的压缩。Demmie和Silling(2007)研究了大体积物体对钢筋混凝土结构的撞击产生的极限载荷和混凝土结构的爆炸载荷。这项研究最近被Oterkus等人(2012a)扩展到预测混凝土结构受冲击损伤后的剩余强度。
近场动力学理论还可以用来模拟复合材料的损伤。在PD框架内，通过在纤维和其他（纤维以外的）方向上设置不同的材料属性是实现具有方向特性的复合材料单层建模最简单的方法。相邻层之间的相互作用通过层间键定义。Askari等人(2006)和Colavito等人(2007a,b)预测了受低速冲击的复合材料层合板的损伤，以及编织复合材料的静压痕损伤。Xu等人(2007)研究了受双轴载荷作用的带缺口复合材料层合板。此外，Oterkus等人(2010)表明PD分析能够得到复合材料螺栓连接接头的挤压和剪切破坏模式。
Xu等人(2008)分析了由低速冲击产生的复合材料层合板的分层和基体破坏过程。最近，Askari等人(2011)考虑了高能和低能的冰雹冲击对增韧环氧树脂、中模量碳纤维复合材料的影响。此外，Hu等人(2012a)预测了拉伸载荷下含有中心裂纹层压板中的纤维、基体和分层破坏模式。Oterkus和Madenci(2012)给出了包括热载荷条件在内的PD材料参数的解析推导。他们还证明了成对相互作用的假设对材料常数产生的约束。Klic等人(2009)介绍了另一种复合材料建模方法，根据体积分数区分纤维和基体材料，虽然这种方法具有考虑了非均质结构的优点，但是计算量比均质化技术大得多。Alali和Lipton(2012)提出的一种复合材料建模方法将微观和宏观连接起来，该方法受双尺度演化方程的影响。方程的微观部分作用于非均质尺度上的动力学问题，宏观部分则作用于均质的动力学问题。
由于近场动力学运动方程的数值解比局部方法(如FEM)的计算量大，所以将PD理论和局部解结合起来是有利的。在最近的研究中，Seleson等人(2013)提出了一个基于力的混合模型，该模型通过混合函数的积分所构成的非局部权重把PD理论和经典弹性理论耦合起来。他们把这种方法推广到近场动力学和任意阶数的高阶梯度模型的耦合分析中。在另一项研究中，Lubineau等人(2012)通过只影响本构参数的转换（变形）来实现局部和非局部解的耦合。该方法中变形函数(morphing function)的定义取决于能量的等效。除了这些技术Kilic和Madenci(2010b)以及Liu和Hong(2012b)把FEM和近场动力学耦合起来。Macek和Siling(2007)介绍了一个更简单的耦合过程，该方法用桁架单元来表示PD的相互作用。如果只有某部分区域希望使用近场动力学建模，那么其他部分可以用传统有限元法建模。Oterkus等人(2012b)和Agwai等人(2012)提出了另一个简单的方法，先通过有限元分析求得位移场，再将已经得到的位移作为临界区域的近场动力学模型的边界条件。
近场动力学理论也适用于热载荷情况。Kilic和Madenci(20lOc)在近场动力学相互作用的响应函数中写入了热力项。Kilic和Madenci(2009b)采用该方法预测了含有单个或多个预置裂纹的淬火玻璃平板在热载荷作用下产生的裂纹扩展模式，Kilic和Madenci(2010c)还预测了在不同材料的区域内由于热载荷导致的损伤萌生和扩展。
PD理论可进一步延伸至热扩散问题。Gerstle等人(2008)构建了一个电子迁移的近场动力学模型，该模型解释了一维物体中的热传导过程。此外，Bobaru和Duangpanya(2010,2012)介绍了一个多维PD热传导方程，并考虑了诸如绝缘裂纹等不连续性区域。这两项研究都采用了键型近场动力学方法。随后，Agwi(2011)推导了态型近场动力学热传导方程，并将其进一步扩展为热-力完全耦合的近场动力学方程。
近场动力学理论已成功地用于从宏观到纳米等不同长度尺度的许多损伤预测问题。为了考虑范德华相互作用，Siling和Bobaru(2005)以及Bobaru(2007)在PD响应函数中引人了一个附加项来表示范德华力。这一新的方程可用于研究三维纳米纤维网在拉伸变形后的力学行为、强度和韧性。结果表明，范德华力的引入显著改变了纳米纤维网状结构的整体变形行为。在最近的研究中，Seleson等人(2009)证明了PD可以作为分子动力学的高级尺度，并指出了PD可以恢复分子动力学解的程度。Clic等人(2011)利用PD获得了在定制的原子力显微镜(AFM)和扫描电子显微镜(SEM)下，受到弯曲载荷的镍纳米纤维的力学性能，并将断裂的纳米纤维的SEM图像与近场动力学仿真结果进行了比较。
3. 参考文献
[1] Agwai A (2011)A peridynamic approach for coupled fields.Dissertation,University of Arizona.
[2] Agwai A,Guven I,Madenci E (2011)Predicting crack propagation with peridynamics:a comparative study.Int J Fracture 171:65-78.
[3] Agwai A,Guven I,Madenci E(2012)Drop-shock failure prediction in electronic packages by using peridynamic theory.IEEE Trans Adv Pack 2(3):439-447.
[4] Alali B,Lipton R (2012)Multiscale dynamics of heterogeneous media in the peridynamic formulation.J Elast 106:71-103.
[5] Ari N,Eringen AC (1983)Nonlocal stress field at Griffith crack.Cryst Latt Defect Amorph Mater10:33-38.
[6] Askari E,Xu J,Silling SA(2006)Peridynamic analysis of damage and failure in composites.Paper 2006-88 presented at the 44th AIAA aerospace sciences meeting and exhibit. Grand Sierra Resort Hotel,Reno,9-12 Jan 2006.
[7] Askari A,Nelson K,Weckner O,Xu J,Silling S (2011)Hail impact characteristics of a hybrid material by advanced analysis techniques and testing.J Aerosp Eng 24:210-217.
[8] Barenblatt GI (1962)The mathematical theory of equilibrium cracks in brittle fracture.Adv Appl Mech 7:56-125.
[9] Bazant ZP (1991)Why continuum damage is nonlocal-micromechanics arguments.J Eng Mech117:1070-1087.
[10] Bazant ZP,Jirasek M(2002)Nonlocal integral formulations of plasticity and damage:survey of progress.J Eng Mech 128(11):1119-1149.
[11] Belytschko T,Black T(1999)Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing. Int J Numer Meth Eng 45:601-620.
[12] Bobaru F (2007)Influence of Van Der Waals forces on increasing the strength and toughness in dynamic fracture of nanofiber networks:a peridynamic approach.Model Simul Mater Sci Eng15:397-417.
[13] Bobaru F,Duangpanya M(2010)The peridynamic formulation for transient heat conduction. Int J Heat Mass Trans 53:4047-4059.
[14] Bobaru F,Duangpanya MA (2012)Peridynamic formulation for transient heat conduction in bodies with evolving discontinuities.J Comput Phys 231:2764-2785.
[15] Bobaru F,Ha YD (2011)Adaptive refinement and multiscale modeling in 2D peridynamics.Int J Multiscale Comput Eng 9(6):635-660.
[16] Bobaru F,Hu W(2012)The meaning,selection and use of the peridynamic horizon and its relation to crack branching in brittle materials.Int J Fract 176(2):215-222.
[17] Bobaru F,Yang M,Alves LF,Silling SA,Askari E,Xu J (2009)Convergence,adaptive refinement,and scaling in 1D peridynamics.Int J Numer Meth Eng 77:852-877.
[18] Celik E,Guven I,Madenci E (2011)Simulations of nanowire bend tests for extracting mechanical properties.Theor Appl Fract Mech 55:185-191.
[19] Colavito KW,Kilic B,Celik E,Madenci E,Askari E,Silling S(2007a)Effect of void content on stiffness and strength of composites by a peridynamic analysis and static indentation
test.Paper 2007-2251 presented at the 48th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC structures,structural dynamics,and materials conference,Waikiki,23-26 Apr 2007.
[20] Colavito KW,Kilic B,Celik E,Madenci E,Askari E,Silling S (2007b)Effect of nano particles on stiffness and impact strength of composites.Paper 2007-2001 presented at the 48th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC structures,structural dynamics,and materials conference,Waikiki,23-26 Apr 2007.
[21] Cox BN,Gao H,Gross D,Rittel D(2005)Modern topics and challenges in dynamic fracture. J Mech Phys Solid 53:565-596.
[22] Dayal K,Bhattacharya K (2006)Kinetics of phase transformations in the peridynamic formulation of continuum mechanics.J Mech Phys Solids 54:1811-1842.
[23] Demmie PN,Silling SA(2007)An approach to modeling extreme loading of structures using peridynamics.J Mech Mater Struct 2(10):1921-1945.
[24] Dugdale DS (1960)Yielding of steel sheets containing slits.J Mech Phys Solids 8(2):100-104Elliott HA (1947)An analysis of the conditions for rupture due to Griffith cracks.Proc Phys Soc59:208-223.
[25] Emmrich E,Weckner O(2007)The peridynamic equation and its spatial discretization.J Math Model Anal 12(1):17-27.
[26] Eringen AC (1972a)Nonlocal polar elastic continua.Int J Eng Sci 10:1-16.
[27] Eringen AC (1972b)Linear theory of nonlocal elasticity and dispersion of plane waves.Int J Eng Sci10:425-435.
[28] Eringen AC,Edelen DGB(1972)On nonlocal elasticity.Int J Eng Sci 10:233-248.
[29] Eringen AC,Kim BS(1974a)Stress concentration at the tip of crack.Mech Res Commun 1:233-237.
[30] Eringen AC,Kim BS (1974b)On the problem of crack tip in nonlocal elasticity.In:Thoft-Christensen P (ed)Continuum mechanics aspects of geodynamics and rock fracture mechanics.Proceedings of the NATO advanced study institute held in Reykjavik,11-20 Aug 1974.D.Reidel,Dordrecht,pp 107-113.
[31] Eringen AC,Speziale CG,Kim BS (1977)Crack-tip problem in non-local elasticity.J Mech Phys Solids 25:339-355.
[32] Foster JT,Silling SA,Chen WW (2010)Viscoplasticity using peridynamics.Int J Numer Meth Eng81:1242-1258.
[33] Foster JT,Silling SA,Chen W (2011)An energy based failure criterion for use with peridynamic states.Int J Multiscale Comput Eng 9(6):675-688.
[34] Gerstle W,Sau N,Silling S (2007)Peridynamic modeling of concrete structures.Nucl Eng Des237(12-13):1250-1258.
[35] Gerstle W,Silling S,Read D,Tewary V,Lehoucq R (2008)Peridynamic simulation of electromigration.Comput Mater Continua 8(2):75-92.
[36] Griffith AA (1921)The phenomena of rupture and flow in solids.Philos Trans R Soc Lond A 221:163-198.
[37] Ha YD,Bobaru F (2011)Characteristics of dynamic brittle
fracture captured with peridynamics.Eng Fract Mech 78:1156-1168.
[38] Hillerborg A,Modeer M,Petersson PE(1976)Analysis of crack formation and crack growth by means of fracture mechanics and finite elements.Cem Concr Res 6(6):773-781.
[39] Hu W,Ha YD,Bobaru F(2012a)Peridynamic model for dynamic fracture in unidirectional fiberreinforced composites.Comput Meth Appl Mech Eng 217-220:247-261.
[40] Hu W,Ha YD,Bobaru F,Silling SA (2012b)The formulation and computation of the non-local J-integral in bond-based peridynamics.Int J Fract 176:195-206.
[41] Kadau K,Germann TC,Lomdahl PS(2006)Molecular dynamics comes of age:320 billion atom simulation on BlueGene/L.Int J Mod Phys C 17:1755-1761.
[42] Kilic B (2008)Peridynamic theory for progressive failure prediction in homogeneous and heterogeneous materials.Dissertation,University of Arizona.
[43] Kilic B,Madenci E(2009a)Structural stability and failure analysis using peridynamic theory. Int J Nonlinear Mech 44:845-854.
[44] Kilic B,Madenci E (2009b)Prediction of crack paths in a quenched glass plate by using peridynamic theory.Int J Fract 156:165-177.
[45] Kilic B,Madenci E(2010a)An adaptive dynamic relaxation method for quasi-static simulations using the peridynamic theory.Theor Appl Fract Mech 53:194-201.
[46] Kilic B,Madenci E(2010b)Coupling of peridynamic theory and finite element method.J Mech Mater Struct 5:707-733.
[47] Kilic B,Madenci E (2010c)Peridynamic theory for thermomechanical analysis.IEEE Trans Adv Packag 33:97-105.
[48] Kilic B,Agwai A,Madenci E(2009)Peridynamic theory for progressive damage prediction in centre-cracked composite laminates.Compos Struct 90:141-151.
[49] Klein PA,Foulk JW,Chen EP,Wimmer SA,Gao H (2001)Physics-based modeling of brittle fracture:cohesive formulations and the application of meshfree methods.Theor Appl Fract Mech 37:99-166.
[50] Kroner E (1967)Elasticity theory of materials with long range cohesive forces.Int J Solids Struct3:731-742.
[51] Kunin IA (1982)Elastic media with microstructure I:one dimensional models.Springer, Berlin.
[52] Kunin IA (1983)Elastic media with microstructure II:three-dimensional models.Springer,Berlin.
[53] Lehoucq RB,Sears MP (2011)Statistical mechanical foundation of the peridynamic nonlocal continuum theory:energy and momentum conservation laws.Phys Rev E84:031112.
[54] Lehoucq RB,Silling SA (2008)Force flux and the peridynamic stress tensor.J Mech Phys Solids56:1566-1577.
[55] Liu W,Hong J (2012a)Discretized peridynamics for brittle and ductile solids.Int J Numer Meth Eng89(8):1028-1046.
[56] Liu W,Hong J (2012b)A coupling approach of discretized peridynamics with finite element method.Comput Meth Appl Mech Eng 245-246:163-175.
[57] Lubineau G,Azdoud Y,Han F,Rey C,Askari A(2012)A morphing strategy to couple non-local to local continuum mechanics.J Mech Phys Solids 60:1088-1102.
[58] Macek RW,Silling SA(2007)Peridynamics via finite element analysis.Finite Elem Anal Des 43(15):1169-1178.
[59] Melenk JM,Babuska I (1996)The partition of unity finite element method:basic theory and applications.Comput Meth Appl Mech Eng 139:289-314.
[60] Mikata Y(2012)Analytical solutions of peristatic and peridynamic problems for a 1D infinite rod.Int J Solids Struct 49(21):2887-2897.
[61] Mitchell JA (2011a)A nonlocal,ordinary,state-based plasticity model for peridynamics. SAND2011-3166.Sandia National Laboratories,Albuquerque.
[62] Mitchell JA (2011b)A non-local,ordinary-state-based viscoelasticity model for peridynamics. SAND2011-8064.Sandia National Laboratories,Albuquerque.
[63] Moes N,Dolbow J,Belytschko T(1999)A finite element method for crack growth without remeshing.Int J Numer Meth Eng 46:131-150.
[64] Ostoja-Starzewski M(2002)Lattice models in micromechanics.Appl Mech Rev 55:35-60.
[65] Oterkus E,Madenci E(2012)Peridynamic analysis of fiber reinforced composite materials.J Mech Mater Struct 7(1):45-84.
[66] Oterkus E,Barut A,Madenci E (2010)Damage growth prediction from loaded composite fastener holes by using peridynamic theory.In:Proceedings of the 51st AIAA/ASME/ ASCE/AHS/ASC structures,structural dynamics,and materials conference,April 2010.AIAA,Reston,Paper 2010-3026.
[67] Oterkus E,Guven I,Madenci E (2012a)Impact damage assessment by using peridynamic theory.Cent Eur J Eng 2(4):523-531.
[68] Oterkus E,Madenci E,Weckner O,Silling S,Bogert P,Tessler A (2012b)Combined finite element and peridynamic analyses for predicting failure in a stiffened composite curved
panel with a central slot.Compos Struct 94:839-850.
[69] Ozbolt J,Bazant ZP (1996)Numerical smeared fracture analysis:nonlocal microcrack interaction approach.Int J Numer Meth Eng 39:635-661.
[70] Polleschi M(2010)Stability and applications of the peridynamic method.Thesis,Polytechnic University of Turin.
[71] Rogula D(1982)Nonlocal theory of material media.Springer,Berlin,pp 137-243.
[72] Schlangen E,van Mier JGM(1992) Simple lattice model for numerical simulation of fracture of concrete materials and structures.Mater Struct 25:534-542.
[73] Seleson P,Parks ML (2011)On the role of influence function in the peridynamic theory.Int J Multiscale Comput Eng 9(6):689-706.
[74] Seleson P,Parks ML,Gunzburger M,Lehocq RB (2009)Peridynamics as an upscaling of molecular dynamics.Multiscale Model Simul 8(1):204-227.
[75] Seleson P,Beneddine S,Prudhomme S(2013)A force-based coupling scheme for peridynamics and classical elasticity.Comput Mater Sci 66:34-49.
[76] Silling SA (2000)Reformulation of elasticity theory for discontinuities and long-range forces.J Mech Phys Solids 48:175-209.
[77] Silling SA (2003)Dynamic fracture modeling with a meshfree peridynamic code.In:Bathe KJ (ed)Computational fluid and solid mechanics.Elsevier,Amsterdam,pp 641-644.
[78] Silling SA (2010)Linearized theory of peridynamic states.J Elast 99:85-111.
[79] Silling SA(2011)A coarsening method for linear peridynamics.Int J Multiscale Comput Eng 9(6):609-622.
[80] Silling SA,Askari A (2004)Peridynamic modeling of impact damage.In:Moody FJ (ed)PVP-vol.489.American Society of Mechanical Engineers,New York,pp 197-205.
[81] Silling SA,Askari A (2005)A meshfree method based on the peridynamic model of solid mechanics.Comput Struct 83(17-18):1526-1535.
[82] Silling SA,Bobaru F (2005)Peridynamic modeling of membranes and fibers.Int J Nonlinear Mech40:395-409.
[83] Silling SA,Lehoucq RB (2008)Convergence of peridynamics to classical elasticity theory.J Elast93:13-37.
[84] Silling SA,Lehoucq RB (2010)Peridynamic theory of solid mechanics.Adv Appl Mech 44:73-168.
[85] Silling SA,Zimmermann M,Abeyaratne R (2003)Deformation of a peridynamic bar.J Elast 73:173-190.
[86] Silling SA,Epton M,Weckner O,Xu J,Askari A (2007)Peridynamics states and constitutive modeling.J Elast 88:151-184.
[87] Silling SA,Weckner O,Askari A,Bobaru F (2010)Crack nucleation in a peridynamic solid. Int J Fract 162:219-227.
[88] Taylor MJ (2008)Numerical simulation of thermo-elasticity,inelasticity and rupture in membrane theory.Dissertation,University of California,Berkeley.
[89] Wang H,Tian H(2012)A fast Galerkin method with efficient matrix assembly and storage for a peridynamic model.J Comput Phys 231:7730-7738.
[90] Warren TL,Silling SA,Askari A,Weckner O,Epton MA,Xu J (2009)A non-ordinary state-based peridynamic method to model solid material deformation and fracture.Int J Solids Struct 46:1186-1195.
[91] Weckner O,Abeyaratne R(2005)The effect of long-range forces on the dynamic bar.J Mech Phys Solids 53:705-728.
[92] Weckner O,Brunk G,Epton MA,Silling SA,Askari E(2009)Green's functions in non-local three-dimensional linear elasticity.Proc R Soc A 465:3463-3487.
[93] Xu XP,Needleman A (1994)Numerical simulations of fast crack growth in brittle solids.J Mech Phys Solids 42:1397-1434.
[94] Xu J,Askari A,Weckner O,Razi H,Silling S (2007)Damage and failure analysis of composite laminates under biaxial loads.In:Proceedings of the 48th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC structures,structural dynamics,and materials conference,April 2007. AIAA,Reston..doi:10.2514/6.2007-2315.
[95] Xu J,Askari A,Weckner O,Silling SA (2008)Peridynamic analysis of impact damage in composite laminates.J Aerosp Eng 21(3):187-194.
[96] Yu K,Xin XJ,Lease KB (2011)A new adaptive integration method for the peridynamic theory.Model Simul Mater Sci Eng 19:45003.
[97] Zi G,Rabczuk T,Wall W(2007)Extended meshfree methods without branch enrichment for cohesive cracks.Comput Mech 40:367-382.
注：以上内容摘自上海交通大学出版社的《近场动力学理论及其应用》。如有侵权，请联系删除。
