物点法的理论、实现与应用系列解说之物质点法简介
本文的目录如下：
介绍
1.1 计算机科学与工程(CSE)
1.2 实验在计算机科学与工程中的地位
关于物质点法(MPM)的简介
2.1 拉格朗日粒子和欧拉网格
2.2 基本的物质点法(MPM)算法
2.3 物质点法的优点和缺点
2.4 目前的物质点法的表达式
2.5 多物理场的物质点法
2.6 接触
2.7 断裂
2.8 流体和气体
2.9 物质点法和其它方法的比较
2.10 耦合物质点法和其它的方法
全文字数1w+，非常烧脑，请各位读者耐心阅读。
1. 介绍
1.1 计算机科学与工程（CSE）
本期推送的主题属于计算科学与工程（CSE）的范畴。CSE是一门相对较新的学科，涉及计算模型的开发和应用，通常与高性能计算相结合，以解决工程分析和设计（计算工程）以及自然现象（计算科学）中出现的复杂问题。CSE被描述为仅次于理论和实验的“第三种发现模式”。在 CSE 领域中，这些是解决问题的步骤。首先，选择或发展一个最能描述该问题的数学模型。模型开发的这一步是由具有足够数学技能的人手工完成的。大多数的数学模型都是用微积分来建立的。因此，它们是不适合于数字计算机的连续模型。其次，推导出这个数学模型的计算模型。计算模型是数学模型的近似形式，是可以用计算机求解的离散形式。第三，这个离散模型是用一种编程语言(过去是 Fortran，现在是 C + + 和 Python)实现的，以便有一个计算代码或平台。对于固体力学，流行的计算平台是 Abaqus 和 LS-Dyna。最后，这些计算平台被用来进行计算机模拟或计算机实验。
计算机模拟不仅有助于解决过于复杂而无法解析解决的问题，而且越来越多地取代了昂贵和耗时的实验。此外，它们可以在难以或不可能实现实验可视化的空间和时间尺度上提供大量信息。最后，模拟在预测尚未创建的配偶和结构的行为方面也有价值；实验仅限于已经创建的材料和结构。
我们想简要地讨论一下为什么微积分在科学和工程学中占有如此重要的地位。这一切都始于伽利略和牛顿的著作，他们发现自然定律可以被数学，特别是微积分，很好地描述。如果天体的运动可以用数学来模拟，那么将其应用于人类问题就是合乎逻辑的。这正是伯努利兄弟、欧拉、拉格兰奇、柯西等天才在300年前所做的事情。这些人发展了偏微分方程，可以模拟流体、气体和固体的变形等一系列现象。正是这些偏微分方程描述的模型把人类送上了月球，给了我们手机，电脑，无线电。或者电视。或者给准妈妈做超声波，或者给迷路的旅行者做 GPS。
微积分分为微分和积分两部分。当我们从有限走向无限时，后者是有趣的。为了数值求解，我们反过来做: 从无穷回到有限。我们用一个只包含有限个自由度的网格来代替一个具有无限个自由度的实体。
1.2 实验在计算机科学与工程中的地位
可以肯定的是，计算模型需要通过实验来获得模型中使用的参数。为了强调实验在科学和工程中的重要作用，我们考虑了 Boyce 等人(2016)的有趣文章，其中提出了 Sandia 断裂对计算断裂社区的挑战。这项挑战涉及模拟复几何钢样品的断裂。只有一个最低限度的实验数据(拉力试验钢券)提供给分析师。参与挑战的不同研究小组使用了所有现有的骨折模型，没有一个与实验匹配。
因此，模拟仅仅是不够的，因此，对于任何问题都应该采用联合实验模拟方案。有趣的是，大约70年前创造了“有限元分析”这个词的 R.W. 克拉夫停止了这个方法的研究，转而进行实验(克拉夫1980)。
2. 物质点法的简介
材料点法是粒子单元法(PIC)的最新发展之一。第一个 PIC 技术是在20世纪50年代早期由哈洛(1964)和哈洛(2004)在洛斯阿拉莫斯国家实验室发展起来的，主要应用于流体力学。1986年，Brackbill 和 Ruppel 通过引入 FLIP-流体隐式粒子方法(Brackbill and Ruppel 1986; Brackbill et al. 1988)克服了第一批 PIC 受到过度能量耗散的困扰。在计算机图形学方面，PIC/FLIP 已经成为流体模拟的行业标准方法(Zhu and Bridson 2005)。FLIP 后来被新墨西哥大学的 Sulsky 及其同事(Sulsky 等，1994,1995b)修改并定制用于固体力学中的应用，此后被称为材料点方法(Sulsky 和 Schreyer 1996)。
在 FLIP 中，应变和应力存储在细胞中心。然而，在 MPM，它们是由粒子自身携带的。因此，MPM 颗粒携带材料的全部物理状态，包括位置、质量、速度、体积、应力、温度等。注意，在 PIC 中，粒子只携带位置和质量。
MPM 建立在两个已经在 PIC 中使用的主要概念之上，即使用携带物理信息的拉格朗日材料点，以及用于连续场(即位移场)离散化的背景欧拉网格。对拉格朗日和欧拉描述的简短描述，请看图1。
图1：拉格朗日描述（上）与欧拉描述（下）。在拉格朗日描述中，网格附着在实体上，因此它在实体的变形过程中变形。网格中的每个点始终只与一个材质点相关联，因此可以轻松地对依赖历史的材质进行建模。实体边界也得到了很好的定义。但是，栅格可能会扭曲。另一方面，欧拉网格在空间中是固定的，材料流经网格。网格变形从未发生
2.1 拉格朗日粒子与欧拉网格
在MPM中，连续体由在整个变形过程中跟踪的有限组np拉格朗日材料点（或粒子）离散化。粒子和物质点这两个术语将在本书中互换使用。在原始MPM中，粒子表示的子区域没有明确定义。只跟踪它们的质量和体积。在先进的MPM配方中，如GIMP或CPDI，这些子区域的形状被跟踪。每个物质点有一个关联的位置 xtp (p = 1,2，... ，np) ，质量 mp，密度 ρp，速度 vp，变形梯度 Fp，柯西应力张量 σp，温度 Tp，以及任何其他内部状态变量必要的本构模型。总的来说，这些物质点提供了连续体的拉格朗日描述。由于每个物质点在任何时候都包含一定量的质量，质量守恒就自动得到满足。
Sulsky开发的原始MPM实际上是一个更新的拉格朗日格式。对于这种MPM，模拟物体在变形过程中占据和将占据的空间由一个称为背景网格的网格离散，在该网格中求解动量平衡方程。另一方面，在总拉格朗日MPM（de Vaucorbeil et al.2020）中，背景网格仅覆盖其参考配置中物体覆盖的空间。我们参考图2，了解ULMPM和TLMPM的笛卡尔网格上叠加的材料点的图形说明。栅格是固定的，粒子在栅格上移动（图3）。
网格的使用有以下好处。首先，它消除了直接计算粒子-粒子相互作用的需要，使该方法具有相当的可扩展性。其次，通过这种背景欧拉网格可以很容易地处理碰撞（事实上，该方法固有的是防滑、不 穿透的接触）。第三，动量方程是在网格上求解的，由于网格点比粒子少得多，这是一种非常有效的替代方法。大多数情况下，由于效率的原因，在整个模拟过程中使用固定的规则笛卡尔网格。
图2：MPM离散化：空间由背景网格离散化，背景网格可以是笛卡尔网格或非结构化网格（未显示），而固体则使用粒子离散化。更新后的拉格朗日MPM网格覆盖整个变形空间，而总拉格朗日MPM栅格仅覆盖初始构型
图3：MPM离散化：网格是固定的，粒子在其上移动
2.2 MPM的基本算法
MPM最初是为了解决快速瞬态冲击固体力学问题而开发的（Sulsky等人，1994）。因此，MPM是使用显式求解器开发的，对于此类问题，它比隐式求解器更有效。然后将该方法应用于负载率较低的其他应用。对于这些问题，隐式求解器更适合。由于显式MPM算法比隐式算法更简单，因此在下文中，使用显式求解器提出了更新的拉格朗日MPM算法。隐式MPM公式也进行了讨论。根据更新后的拉格朗日MPM，只需稍作修改即可获得总拉格朗日MPM。
图4：物质点法：计算步骤由四个步骤组成：（1）P2G（粒子到网格），其中信息从粒子映射到节点；（2）网格更新，其中为节点求解动量方程，（3）G2P（栅格到粒子），其中更新的节点随后被映射回粒子以更新它们的位置和速度，以及（4）栅格重置，其中栅格被重置。ULFEM中没有虚线框中的操作
图4给出了一个典型的显式 ULMPM 计算循环。我们参考表1.1中的表示法列表(并非详尽无遗)和表1.3中的缩写。这个算法有点不成熟，因为有些术语还没有被精确地定义，但是在这个阶段提出来是为了给出一些观点。第一步是将信息从粒子映射到网格(P2G) ，因为网格在每个周期都被重置。其次，在网格节点上求解离散的动量方程(网格更新)。然后，更新颗粒的位置、速度、体积、密度、变形梯度、应力和所有相关内部变量(G2P)。最后两个步骤等价于更新的拉格朗日有限元法。因此，在 Gupta 等人(2011)中声明 MPM 使用欧拉内核是不正确的。最后，将网格重置为其原始状态。由于这种网格重置不会发生网格变形，因此 MPM 是解决大变形问题的一种很好的方法。请注意，网格不需要在每个时间步重置。例如，重置可以每 N 个时间步骤完成。N 可以是任意大小。网格也永远不能被重置(Guilkey等人2006）。此外，还可以使用全新的网格。但据我们所知，这还没有在任何代码中实现。
由于拉格朗日粒子和背景网格的结合，很难对MPM进行精确分类。在我们看来，当MPM求解弱形式的动量方程时，它可以被视为一种无网格伽辽金方法，类似于EFG、RKPM和OTM。MPM与其他Galerkin MM的区别在于构造形状函数的容易性。事实上，它们是在固定的欧拉网格上定义的简单有效的多项式。请注意，大多数无网格形状函数是在节点云上定义的计算成本高昂的有理函数。当网格不固定时，MPM与OTM非常相似（反之亦然）。不同之处在于OTM采用了最大值近似（Iaconeta等人，2017）。与OTM相反，MPM使用背景网格，如果不固定，将产生网格纠缠问题，类似于更新的拉格朗日有限元。
2.3 物质点法的优点和缺点
MPM 的优点包括:
1. 无网格纠缠问题;无误差地通过物质点的运动使物质特性平移;
2. 该方法自动采用防滑、防渗透接触算法，即不需要额外的计算代价;
3. 利用欧拉网格的背景，直接有效地处理多体的摩擦接触;
4. 适用于以图像为基础的模拟，因为将图像转换为MPM 模型;
5. 与现有的无网格方法相比，MPM 的计算机实现非常简单。通过对计算域的分解，可以方便地为并行分布式存储计算机编写 MPM 算法程序;
6. 利用现有经过充分研究的有限元算法，因为MPM 与 FEM算法的相似性。
7. 适用于难以转换成优质有限元网格的非常复杂的几何问题。在这方面，MPM 与浸入边界方法(Mittal 和 Iaccarino 2005; Schillinger 等，2012)及其最近的变体如有限细胞方法(Parvizian 等，2007)和切割 FEM (Burman 等，2015)有相似之处。所有这些方法，不管名称如何，都将任意形状的实体嵌入比实体大的立方体(3D)中。立方体由规则的结构网格组成，该网格具有光滑的 Ck 基函数，可以是 B 样条或 T 样条。
除了MPM提供的这些优点之外，与任何数值方法一样，它也有自己的一系列缺点：
1. 大的内存占用空间，因为网格必须覆盖主体占据的整个区域；
2. MPM的形式化分析（收敛性、误差和稳定性）极其困难；
3. 与有限元法相比，边界条件的实施很困难；
4. 精度低于FEM，因为材料点通常不位于数值积分的最佳位置。
第一项只应用于 ULMPM，而不是 TLMPM，因为后面的网格只覆盖初始的未变形配置。由于颗粒的不规则分布和颗粒相对于网格的相对运动，MPM 的形式分析是非常困难的。如果要进行这样的分析，需要许多假设来使分析易于管理，即，一维线性弹性材料，粒子不会从一个细胞移动到另一个细胞(York et al. 1999)。边界条件难以执行的原因是缺乏对边界的明确表示。但是，它仍然比其他一些方法(例如:SPH) (Raymond et al. 2018).然而，细胞中的广义粒子(GPIC)不存在这个问题(Nguyen et al. 2021)。最后，低精度只适用于小型和中等大型变形问题。
2.4 目前的物质点法的表达式
文献中可用的不同MPM变体之间的主要差异来自于（i）不同的网格基函数，（ii）不同的时间积分方案，（iii）不同类型的网格（笛卡尔或非结构化）和（iv）更新的拉格朗日量或总拉格朗日量公式的使用。此处的讨论仅限于ULMPM。
