物质点法的应用
MPM已被应用于涉及经历非常大变形的固体、流体和气体的广泛问题。本节试图对MPM应用程序进行广泛的概述。其想法是概述可以使用MPM进行的模拟类型。它绝不是详尽无遗的。因此，在这里向那些由于疏忽而没有在这里提及作品的作者道歉。
本文的目录如下：
1.1 大应变岩土工程
1.2 流体-结构相互作用
1.3 基于图像的模拟
1.4 计算机图形学
1.5 其他应用
1.1 大应变岩土工程
MPM已被用于大应变岩土工程问题，包括滑坡（Andersen和Andersen 2010b；Llano Serna等人2016；Soga等人2015；Yerro等人2018）、筒仓卸料（Wieçkowski等人1999；Wieçkowski 2004；Mühlhaus等人2001）、锚杆拔出（Coetzee等人2005）、挖掘机铲斗填充（Coetze等人2007），打桩（Lim等人，2013；Nguyen等人，2016；Galavi等人，2017），垃圾填埋场覆盖层沉降问题（Zhou等人，1999），井筒完井中的聚能射流穿透（Burghardt等人，2010；Homel等人，2015）和土工合成材料的安装（Hamad等人，2015年）。MPM也用于模拟饱和多孔介质的大变形，例如参见Zhang等人（2009），Beuth等人（2011），Jassim等人（2013），Zheng等人（2013年），Abe等人（2014），Ma等人（2014年），Yerro等人（2015），Pinyol等人（2017）。最近，MPM已成功应用于地球力学领域（Agarwal等人，2019），以模拟刚性车轮与干燥颗粒介质的相互作用。除了Mühlhaus等人（2001）在MPM中使用了Cosserat连续体框架外，上述所有工作都采用了传统的连续体力学理论。Cosserat理论的不同之处在于，它还涉及旋转速度，角动量的平衡导致了非对称的柯西应力张量。
熟悉 FLAC (Fast Lagrangian Analysis of Continua)的人开发了他们自己的 MPM 公式。例如，Konagai 和 Johansson (2001)为地质力学制作了拉格朗日粒子有限差分法(lpFDM)。与标准 MPM 的不同之处在于，应力被涂抹在背景网格上，也就是说，内力是使用存储在单元中心的平均应力张量计算的。
1.2 流体-结构相互作用
流体-结构相互作用（FSI）是刚性或可变形结构与内部或周围流体流的相互作用。流体-结构相互作用是许多工程系统设计中的一个重要考虑因素，例如飞机、航天器、发动机和桥梁。流体-结构相互作用问题的模拟有两种主要方法：（1）整体方法，其中控制结构的流动和位移的方程用单个求解器同时求解；（2）分区方法，其中支配结构的流动与位移的方程分别用两个不同的解算器求解解算器。我们参考了Bazilevs和Takizawa（2017）对这一极具挑战性的主题的全面描述。本节的以下内容回顾了使用MPM的FSI工作。
统一的流体固体相互作用（FSI）物质点法。第一个使用MPM的FSI在York等人（1999年和2000年）中提出。在这项工作中研究的结构是二维膜。在这种配方中，膜由一组材料点表示，流体/气体由另一组颗粒表示，见图1。这两种类型的颗粒通过背景网格相互作用。膜的本构模型使得它们仅承受轴向应力。将该算法应用于安全气囊碰撞仿真，结果与实验吻合较好。
图1：使用MPM的单片FSI解算器。如果实体部分是一个结构，它可以像在中那样仅由一组粒子离散化，或者它被建模为一组有限元（2D中的杆单元和3D中的膜单元）
该模型后来被其他研究人员改进，例如Gan等人（2011），Lian等人（2011c），Li安等人（2014），Nguyen等人（2017）。特别是，Lian等人（2011c）将膜（实际上是钢筋）视为1D双节点钢筋单元。它们现在将膜颗粒连接在一起，见图1.23b。通过这样做，离散化膜所需的颗粒数量显著减少（Nguyen等人，2017）。在该模型中，膜由一组两节点杆有限元离散。对于这些单元，采用有限元方法计算其质量和内力。然后，将质量和内力投影到背景网格上，而不是用有限元方法求解这些元素节点的运动。然后，以标准MPM方式更新膜颗粒和流体颗粒的运动。
在Lian等人的工作基础上。（2011c），Hamad等人（2015）开发了一种新的三维固体膜耦合方法。它本质上是固体的MPM和膜的FEM（三节点三角形单元）的耦合。该方法用于模拟土工合成材料系统的安装过程和性能。在计算机图形学界，也做过类似的工作。例如，郭等人（2018）提出了一种用于具有摩擦接触的薄壳体的MPM，其中壳体由Catmull-Clark细分表面表示，其控制点在MPM方法中被视为粒子。在一项相关工作中，但对于鸟类撞击模拟，Wu等人（2018）提出了外壳有限元与MPM的耦合（以模拟鸟类的大变形）。
将York等人（1999）、York等人的算法（2000）应用于Hu等人的流体-结构相互作用问题。（2009）、Mao（2013）、Yang等人（2018）、Su等人（2019）、Sun等人（2019年）。在Su等人（2019）中，考虑了温度效应。Sun等人（2019）提出了一组FSI问题的基准测试，并根据实验和其他数值方法验证了MPM结果。所有这些工作都只考虑了流体-结构界面上的无滑移条件，但Hu等人除外。（20092011）他考虑了滑移边界条件。胡及其同事的工作为基于MPM的鲁棒流体-结构相互作用模拟器引入了许多技术：（i）界面材料点以跟踪流体-结构界面，（ii）流体颗粒正则化（或重新分布）以减轻流体运动中典型的大颗粒畸变，（iii）使用GIMP的自适应网格细化，以降低传统均匀网格中固有的计算成本。
分离式流体固体相互作用物质点法。还存在混合方法或分区方法，其中流体流求解器与用于FSI问题的MPM固体求解器耦合，例如。Guilkey等人（2007），Gilmanov和Acharya（2008b），Sun等人（2010）。这是因为MPM不是流体的最佳解算器。
（2008a），将流体的混合浸入边界法（HIBM）与固体的MPM相结合，提出了一种解决三维流体-结构相互作用问题的有效策略。该想法基于Peskin等人（2002）的浸入式边界方法，其中使用笛卡尔网格（带有限差分求解器）处理流体，并将流体-结构界面浸入该网格中。在Gilmanov和Acharya（2008b）中，该结构是3D软膜（例如在血液中移动的胶囊），其通过由三节点三角形有限元组成的非结构化网格离散化。然而，膜的变形不是通过使用FEM而是通过使用MPM来处理的。也就是说，膜质量和内力（以FEM方式计算）被投影到MPM网格。因此，这种方法中有网格：一个用于流体的笛卡尔网格，一个用于膜的非结构化网格，以及一个用于求解膜变形的笛卡尔背景网格。可以看出，Lian等人的工作。（2011c），Hamad等人（2015）重新发明了这种算法（不知道它的存在）。
1.3 基于图像的模拟
MPM（或任何无网格方法）比FEM更适合于涉及大变形的基于图像的模拟。这是因为MPM只需要一组粒子，而不需要适合身体的网格。将图像转换为一组点（MPM中的粒子）比将其转换为有限元网格更容易。用于此的算法非常简单，只需逐个体素读取图像体素，将每个体素转换为材质点。Bardenhagen等人（2005）、Brydon等人（2005年）、Lelong和Rochais（2019）对泡沫微观结构的模拟、Nairn（2006）对木材的模拟、Lee和Huang（2010）对低密度雪的模拟，以及Xue等人（2006b）、Xue等人（2006a）对高填充复合材料和纳米颗粒聚合物复合膜的模拟，都利用了这一思想。
基于图像的模拟在生物力学中有着自然的应用，例如参见Guilkey等人（2006），Liu等人（2015b）。刘和孙（2019）最近在这一方向上的工作介绍了一种移动边界方法，该方法将边界条件应用于未与网格节点对齐的表面。有两点值得进一步讨论。首先，所有无网格方法，而不仅仅是MPM，都适用于基于图像的数值模拟。第二，当涉及非常高分辨率的图像时，产生的数值模型可能非常大。因此，将每个体素转换为粒子可能不是进行基于图像的模拟的最有效方法。尽管如此，据我们所知，截至今天，还没有人发表过更有效的算法。
应该注意的是，Bardenhagen等人（2005）、Brydon等人（2005年）报道的泡沫致密化模拟中存在许多接触事件，但它们只是无滑动触点。如果需要，可以使用Homel和Herbold（2017）的自接触方法处理这些复杂泡沫材料的摩擦接触。但这还没有完成。
1.4 计算机图形学
为什么要讨论计算机图形社区所做的工作？因为这个社区已经开发出了创新的MPM算法。他们的计算机科学知识帮助他们编写了可以实时运行的高效MPM代码（Hu等人，2019）。工程师，肯定可以从他们的贡献中受益。
MPM现在在计算机图形学中很流行。它被整合到华特迪士尼动画工作室的制作框架中，并被用于特色动画，包括《冰雪奇缘》、《大英雄6》和《动物城》（Jiang et al.2016）。MPM的威力已经在许多论文中得到了证明，用于模拟各种材料，包括弹性物体、沙子、布、头发、雪、熔岩和粘弹性流体（Daviet和Bertails Descoubes 2016；傅等人2017；姜等人2017；胡等人2018；Wolper等人2019；韩等人2019）。这一切都始于Stomakhin等人的开创性工作。（2014a）他开发了一种半隐式MPM技术和本构模型，以动画化雪的独特行为。雪被视为一个连续体，避免了对每个雪粒建模的需要。姜等人（2015a）随后扩展了该MPM，将热流引起的相变纳入其中。Yue等人（2015）提出了一种使用高度柔性的Herschel-Bulkley本构模型模拟表现出非线性、可见共塑性行为的致密泡沫的方法。为了稳健地处理致密泡沫的大剪切效应特征，作者开发了一种基于泊松圆盘采样的颗粒重采样技术，用于MPM，以防止非物理空隙的形成。拓扑优化李等（2020b）。
计算机图形学界关注模拟器的效率和视觉效果，但不太关注物理。因此，如果工程师们想利用这个社区的进步，他们需要确保与所考虑的问题相关的物理模型得到很好的建模。
1.5 其他应用
在地球物理模拟的背景下，Moresi等人（2003），Moresi et al.（2007）将MPM重新解释为一种以粒子为积分点的FEM。他们创造了拉格朗日积分点有限元法（FEMLIP）。他们计算了正交权重，从而可以精确地重建仿射函数，从而进行二阶精确重建。然而他们的整个算法确实由于如标准MPM中的其它低阶近似。后来，他们提出了FE方法意义上的多尺度MPM（Geers等人（2010），Nguyen等人（2012）对其进行了综述），使用计算均匀化来获得动态微观力学推导的本构行为。
MPM用于气候模拟的海冰模型（Sulsky等人，2007）、雪崩（Gaume等人，20182019；Li等人，2020a，2021）以及更传统的爆炸相关模拟，如爆炸焊接（Wang等人，2011）、高爆爆炸（Ma等人，2009b）、爆炸驱动金属（Lian等人，2011b）、切割过程（Ambati等人，2012），带空腔的高熔点炸药（Pan等人，2008）、爆炸和破碎（Banerjee 2004；胡和陈，2006年）以及磨损（Mishra等人，2019）。李等人研究了不同的低速和高速冲击问题。（2011），周等人（2013），叶志平等人（2018）。
