虚单元法（Virtual Element Method）前沿研究分享
文一：
Timoshenko 梁的一种无锁定虚元方法
摘要：
从Beirão da Veiga等人（2013）对弹性固体的贡献开始，虚拟单元法（VEM）为结构和固体力学问题的离散化提供了新的方法。有趣的是，虚拟单元法还允许重新审视与有限元具有相同形状的不同单元的构造。这甚至适用于桁架和梁等一维结构。在这里，我们研究了Timoshenko梁的虚拟单元发展，这令人惊讶地导致了锁定自由的、在线性范围内甚至精确的Timoshenk梁单元的直接公式。这些单元可以很容易地合并到经典的有限元代码中，因为它们与梁的有限元具有相同数量的未知数。该公式允许使用Reissner（1972）中提供的公式来计算经历大挠度和旋转的非线性结构问题。
图：梁在恒定线荷载作用下与相关单元自由度的关系。
图：线性变化线荷载下的梁。
图：（1st/2nd和（2nd/3rd）插值的两种不同虚元公式的收敛行为。
图：（a） 具有垂直荷载的框架和（b）离散化。
图：负载偏转，包括咬合。
文二：
有限应变应用中的无稳定虚拟单元法
摘要：
本文针对二维可压缩超弹性材料，提出了一种新的无稳定度较高的虚拟单元方法。与最传统的虚拟单元公式不同，该方法不需要任何稳定性。主要思想是修改虚拟单元空间，以允许计算高阶多项式𝐿2梯度的投影。在此基础上，可以直接得到刚度矩阵，极大地简化了分析过程，尤其是对于非线性问题。考虑了超弹性材料，解决了一些基准非线性问题，验证了无稳定虚拟单元法的性能和准确性。
图：几何非线性分析中的参考配置和当前配置。
图：一阶和二阶虚拟单元。
图：多边形单元的三角剖分。
图：具有不同网格的库克膜问题的初始配置。
图：具有非凸单元的不同网格垂直位移的变形形状和轮廓曲线。
图：具有不同大小的非结构化多边形网格。
图：通过不同网格的无稳定VEM获得的数值解。
文三：
不可压缩和不可扩展问题的混合虚拟单元公式
摘要：
在弹性材料的数值模拟过程中，锁定效应可能是一个主要问题，尤其是对于大应变。这些影响源于体积约束，例如底层材料类别的不可压缩性或各向异性影响。一种特定的解决方案策略是采用混合配方，该配方提供针对手头特定锁定现象量身定制的解决方案。虽然这种解决方案策略通常是强大的，但其一个缺点是，所提供的克服锁定的策略往往局限于某些特定拓扑类型的有限元，从而丧失了通用性。相反，虚拟单元法（VEM）从定义上受益于在元素级别允许任意元素形状和节点数量。在这篇文章中，我们为低阶模拟的虚拟单元法制定了多种处理超弹性材料锁定现象的方法。在VEM中实现多场混合原理的关键因素是每个场只考虑一个常量变量和整个虚拟单元上的一个相应拉格朗日乘子。因此，稳定贡献利用混合公式，但与虚拟单元的投影部分共享单元常量变量。这种相当简单的实现策略的直接结果是将强大的混合公式与能够处理一般单元形状的计算方法相结合。所提出的公式在计算力学的标准示例以及也使用非结构化网格的特定计算工程应用中关于结构化网格进行了测试。
图：二维冲压问题：原理图设置；Mooney-Rivlin型高度不可压缩各向同性材料行为的b VEM Q1 CoJP预测。
图：二维和三维库克膜问题的示意图设置
图：具有横向各向异性Neo-Hookean材料定律的二维Cook膜问题的变形构形。
图：具有横向各向异性Mooney-Rivlin材料定律的三维Cook膜问题的变形构形。
图：具有100个晶粒的结晶微观结构的网格。
图：负载下的二维双夹紧补片问题。VEM Q1 TrJP预测的结果。
图：多尺度方案的示意图：微观计算问题的局部化和均匀化。
文四：
计算各向异性晶体塑性的虚拟单元
摘要：
在这篇文章中，将具有线性模拟的虚拟单元法（VEM）应用于微结构环境中的计算晶体塑性框架。此外，基于张量变形测度和结构张量的不变公式，对底层晶体结构的立方弹性各向异性提出了一个简单的各向异性能量贡献。各向异性弹性公式在小变形的极限下恢复了立方体材料的弹性张量结构。作者提出了一个新的稳定退化公式，该公式完全基于问题的耗散响应。代表性的例子说明了VEM在晶体塑性框架中锁定现象方面的稳健性和性能，当与经典有限元方法的解进行对比时。进一步的例子研究了VEM在晶体塑性框架内的性能和电流限制，当应用于结构化元件拓扑和柔性元件拓扑的异质微结构时。
图：示意图。
图：由均匀化杨氏模量的Reuss估计加权的定向杨氏模量的图形表示。
图：三维库克膜问题的几何和加载设置图解。
图：（a）、（b）的等值线图：纯弹性响应的等效von Mises应力分布；（c） ，（d）：弹塑性响应的累积塑性剪切分布。
图：（a）-（c）旋转角度预测图解；（d） –（f）旋转角绝对值的差异，由VEM和FEM在正方形2D域的纯剪切变形后预测，由四边形单元离散。
图：具有300个晶粒的有限条域的图解，通过（a）VEM-VO方法进行网格划分；（b） FEM-O2方法；（c） 单个晶粒的方向颜色图例。单个颗粒的颜色是针对旋转角度获得的三种颜色的混合。
图：悬臂梁域图示为（a）示意图；（b） 粗网格，将单个六面体元素视为单个晶粒；（c） 精细网格域。
图：含软夹杂物的晶体试样及其网格。
文五：
非协调网格三维接触问题的虚拟单元法
摘要：
虚拟单元法非常适合于不一致网格的问题，因为可以在虚拟单元边界处插入节点以获得一致的网格结构，而无需改变单元的模拟。接触条件可以用于不同的执行策略。这种特征也可以用于三维接触问题。在这项工作中，我们介绍了一个新的框架，包括重新网格策略，它可以产生一致的网格。将显示3D中的各种数值示例，包括接触贴片测试和赫兹接触等标准情况。
图：联系边值问题。
图：参数空间中的三角形（左）和三维欧氏空间（右）。
图：节点到曲面的离散化。
图：接触片在接触界面测试网格的边值问题。
图：节点到节点和节点到曲面接触的修补程序测试。
图：在接触界面上与不匹配的三角形和四面体进行节点到节点的接触。
