压杆与外压圆柱壳！屈曲(失稳)公式的推导思路是完全一样的

    为服务好VIP学员，本号前作整理了压杆失稳公式的推导过程以及发生弹性失稳的共同特点。感兴趣的读者可以查看前作《屈曲(失稳)公式的推导过程，以及弹性失稳的共性！》。

    提出该问题的VIP学员来自压力容器行业，所以本文再次使用外压圆柱壳模型来介绍失稳公式的推导过程。其实不论是压杆，还是外压圆柱壳，其失稳公式背后的推导思路是高度一致的。

    屈曲失效(失稳)是工程结构的重要失效方式之一。压杆是进行失稳分析的经典力学模型之一。但对于化工机械或过程装备行业的工程师来说，外压圆柱壳才是介绍失稳分析最恰当的力学模型。

    本文将压杆和外压圆柱壳的失稳公式的推导过程对比来展示，读者可以发现高度的一致性。

    压杆的曲线微分方程(横向位移)：

    外压圆柱壳的曲线微分方程(径向位移)：

    压杆模型中，压力与力矩的关系式：

    圆柱壳模型中，压力与力矩的关系式：

或

05.1 压杆的边界条件

    两端铰支压杆的边界条件：两端的挠度为0；

    两端固支压杆的边界条件：两端的挠度为0，两端的转角为0，一端的弯矩假设为Me；

    一端固支一端自由压杆的边界条件：固定端的挠度为0，固定端的转角为0，自由端的挠度假设为δ；

    一端固支一端铰支压杆的边界条件：固定端的挠度为0，固定端的转角为0，铰支端的挠度0，铰支端的横向反力假设为Fr；

05.2 外压圆柱壳的边界条件

    某个截面弯矩假设为M0：

    径向位移ω为φ的周期函数，周期为2π。

    压杆和外压圆柱壳的失稳公式的推导过程可以总结为：

    Step01：提出曲线微分方程；

    Step02：提出压力与力矩的关系式(边界条件与内力矩的关系)；

    Step03：补充汇总其它边界条件；

    Step04：求得失稳临界压力的表达式；

注：边界条件是指模型的应力和位移的特点，分为应力边界条件和位移边界条件。这里的应力和位移是广义的，应力包含应力，力及力矩；位移包含位移和转角。

    可能存在一个误区，顾名思义，认为边界条件一定是结构的边界，比如压杆就是指两端，如果这么理解，圆柱壳是回转体，不存在端部，所以边界肯定不限于端部。力学理论中的边界条件应该指的是：模型的已知部分的应力和位移(比如具体的数值，规律或特点等)。

    外压圆柱壳的最小失稳外压：

    稳定平衡与不稳定平衡：