湍流模拟｜15 NS方程封闭问题(2)

接上文。

4 显式代数雷诺应力模型（EARSM）

可以得到简化版的 RSM 模型，其中雷诺应力是通过代数公式而不是传输方程计算得出的。这类模型的一般形式如下

其中：

式中    是湍流动能，   是湍流频率尺度。请注意，涡流粘度公式（式 (9.7)）是此类模型的最简单形式。ANSYS CFD 中的主要模型是 Wallin-Johansson [19] 的一个版本。

5 湍动能方程

所有与工业相关的双方程模型都使用湍流动能方程   来提供所需的两个尺度之一。  公式可以通过对精确 RSM 模型（式（9.9））对角线的一半求和得到。

式中：

  是生成项。引入湍流粘度公式（公式 (9.7)）后，可表述为

其中  。

式中  项是湍流能量耗散率，其将湍动能转化为热能（通常很小，可以在总能量平衡中忽略不计）。

项  称为湍流扩散项。 在整体意义上，该项对湍动能的总的产生或耗散没有贡献，只是使  分布平滑。 它通常由一个简单的梯度扩散假设模拟：

因此  方程可以表示为：

在这些公式中，  方程中唯一缺少（未封闭）的项是耗散项  ，其需要从一个单独的尺度方程（如   -方程或   -方程利用  转换）得到。

6 湍流尺度方程

在 RANS 建模中，"湍流尺度 "指的是什么？如导言所述，湍流由一系列尺度组成，因此确定单一的长度或时间尺度并非易事。不过，工程学最感兴趣的混合过程是由最大尺度的湍流驱动的。

尺度方程（通常为    或   ）的推导是 RANS 建模中最薄弱的步骤之一。虽然可以推导出精确的输运方程，如    输运方程，但这些方程代表的是小尺度湍流（耗散发生），并不能提供 RANS 封闭所需的大尺度信息。可以说在 RANS 中，   并非试图模拟 "耗散"，而是将大尺度破坏为小尺度--这与混合过程不再相关。为了得出一个合适的模型方程，假设尺度方程的形式类似于  方程：

式中引入比率  用于爆炸维度的正确性。 参数  为模型系数，需要通过实验数据进行调整。 标准  模型的系数为：

 

湍流频率  的方程可以用相同的参数导出：

利用这组方程，可以计算涡流粘度（有的教材称湍流粘度）：

其中  。式中模型参数为：

 

由于  和  是相关的，因此可以研究  -和  -方程之间的差异。 这可以通过将精确的  -方程转换为  -方程来实现。 为了简单起见，假设  ：

包含交叉扩散项：

通过系数的变换可以得出相关关系：

换句话说，当  -方程与  -方程在相同维度的自变量上推导时，可以得到方程（9 - 20），而将  -方程变换为  -方程则可以得到方程（9 - 22）。 它们的差异主要在于交叉扩散项CD。

CD 项有什么影响？主要有两种影响，一种是积极的，另一种是消极的。Wilcox [7]详细讨论了负面影响，表现为基于    方程的模型在逆压力梯度边界层中不使用 CD 项，性能有所改善。与基于    方程的模型相比，这些模型对压力梯度的响应更好，对预测流动分离的灵敏度更高。换句话说，在近壁面区域的  方程中加入CD项会抑制正确的分离预测。

包含CD的第二个效果是可取的，因为其避免了基于标准  方程（不包含CD项）的模型对自由流值的强烈敏感性。正如文献[52]中详细讨论的那样，标准模型在边界或自由剪切层（自由流）外的    水平发生变化时，计算结果会有很大差异。图 98 以混合层为例说明了这一点。图的左边部分显示了 Wilcox k-   模型对自由来流    变化在速度分布上的反应，右边部分显示了使用 GEKO k-   模型（包括 CD 项）进行的相同测试。图 99 显示了涡流粘度分布上的相同影响，在标准 k-   模型中，低自由流值和高自由流值之间的差异超过 2 倍。由于自由流值的高低不易控制，而且通常是基于粗略估算的入口值，因此与这些值无关的解对于可靠的模拟至关重要。

 

 

到目前为止，讨论的方程构成了所有基于工业  和  的湍流模型的基础。

 

注：系列译自《Best Practice: RANS Turbulence Modelingin Ansys CFD》，作者F.R. Mentor，2022

”

（完毕）