湍流方程推导的详细细节可参阅现有的任何一本有关湍流的教科书。本文仅提供基础的模型描述，以便将最佳实践的讨论与湍流模型联系起来。

1 平均

由于 DNS 计算成本极为高昂，目前 CFD 的工程应用主要还是依赖于雷诺平均纳维-斯托克斯（Reynolds-Averaged Navier-Stokes，RANS）方程。这些方程是从精确的 NS 方程通过时间（或系综）平均得到的。

时间平均定义为：

换句话说，瞬时量    被分解为时间平均值    和脉动部分    。然后模拟过程中只关注时间平均部分。更一般地说，人们也可以对一个实验的许多实例进行平均。

系综平均定义为：

系综平均法的优势在于它也可以应用于固有的非稳态流动（如带有运动部件的内燃机中的流动）。这两种形式的平均都会导致相同的方程和湍流模型，因此为了简单起见，使用了相同的上标。

当这些平均过程应用于Navier-Stokes方程时，可以得到RANS动量方程：

其中，   为平均速度场向量，   为密度（在本文档中假定为常数），   为平均压力，   为斯托克斯（层流）应力张量。对于不可压缩流

上式中的最后一项    为所谓的 "雷诺应力张量"，其是对非线性对流项求和的结果。该张量表示湍流脉动对平均速度场的影响。上述动量方程是 "不封闭"的，因为还缺少雷诺应力张量方程，因此需要湍流模型来提供关于该张量的公式。

上述 RANS 动量方程是在假定湍流不会导致明显的密度变化的情况下推导出来的--马赫数低于 M < 3 的流动通常是这种情况。需要注意的是，平均流的密度变化发生得更早，从 M~0.1 时就开始了。

2 涡粘假设

湍流模拟中应用最广泛的假设是涡粘假设。该假设基于这样一个概念，即湍流应力可以使用类似于层流应力张量的方式表示：

右侧的最后一项表示湍流动能 k，用于解释雷诺应力张量对角线之和必须等于 2k 的要求。此项并不重要，可以避免/忽略（例如在没有 k 的单方程模型中）。

原来的问题是为雷诺应力张量的六个（由于张量的对称性）未知数提供封闭方程，现在则简化为提供合适的涡流粘度   （也称为湍流粘度）。需要注意的是，   并非流体的物性，而是局部湍流的属性。涡流粘度具有以下量纲：

其中，  和  分别是湍流的长度尺度和时间尺度。

3 雷诺应力模型(RSM)

与涡粘度假设相反，有一些方法旨在单独计算各个雷诺应力。为此，推导出了每个雷诺应力的精确传输方程（6 个方程）。然而，这些精确方程中又包含了需要建模的新的未知项（参见 [5]）。对这些项的不同建模假设导致了各种各样的雷诺应力模型 (RSM)。RSM 精确方程如下

这些方程中的项为：

• 第 1 行：时间导数项、对流项、湍流产生项。
• 第 2 行：压力应变项、湍流耗散项。
• 第 3 行：湍流扩散项和分子扩散项。第 1 行中的所有项都是精确的，无需模化。第 3 行的最后一项也是如此。

所有其他项都需要建立模型来封闭方程。此外，还需要关于湍流尺度的信息，例如在耗散项中。这些信息通常可以从额外的输运方程（如   -方程或   -方程）中获得。总之，RSM 封闭需要求解七个额外的方程。RSM模型的各种变种主要区别在于压力应变项的建模方式上。

(未完待续）