1.1 无阻尼自由振动
图1所示为单自由度无阻尼振动系统力学模型，该系统仅由质量元件和弹簧元件组成。假设系统质量为 ，弹簧刚度系数为 。在静止状态下，由于重力 的作用，弹簧被压缩 ，由此产生的弹性恢复力与重力相平衡，即：
图1 单自由度无阻尼振动系统力学模型
如图1所示，假设系统的坐标原点位于静平衡状态下质量的质心位置， 坐标向下为正、向上为负。若弹簧被压缩，则产生向上的弹性恢复力；反之，若弹簧被拉，则产生向下的弹性恢复力。根据牛顿运动定律可列出如下方程： 式(1)
根据式(1)，可将上式整理为：
式(2)
式(2)为无阻尼自由振动微分方程。因为 与 为正值常数，由方程(2)可知，位移 与加速度 方向相反，可将其变为: 式(3)
令 ，代人式(3)，则有：
式(4)
式(5)
式中， 、 为待定常数，可由振动的初始条件确定。由式 (5) 可知，无阻尼自由振动由两个圆频率相同的简谐振动合成，显然合成后仍为一个同频率的简谐振动，即：
式(6)
式中 ——振幅，表示质量偏离平衡位置的最大值，
——初始相位，rad，
以上公式表明，无阻尼自由振动是一个简谐振动，其振动频率 仅与系统本身质量 和刚度系数 有关，与初始条件无关，故称为系统固有圆频率。假设初始条件 ，利用式(5)不难证明简谐振子对初始条件 和 的响应为： 式(7)
比较式(5)和式(7)，并根据振幅 与相角 的表达式，可以导出振幅 与相角 的表达式为:
式(8)
1.2 有阻尼自由衰减振动
图2 有阻尼振动系统力学模型
假设单自由度有阻尼振动系统由质量块、阻尼器和弹簧组成，如图2(a) 所示。与无阻尼单自由度系统相比，系统增加了一项阻尼力 ，此力方向与运动速度方向相反，故取负号。同理，可建立微分方程为 式(9)
或：
式(10)
式中 ——黏性阻尼系数；
——衰减系数，
设式(10)的解为 ，令 ，称为相对阻尼系数或阻尼比。当 且 时，系统处于弱阻尼状态时，可求得方程的通解为:
式(11)
或
式(12)
式中， ， ，其中 、 均由初始条件决定。
由式(14)可知，系统振动已不再是简谐振动，其振幅被限制在指数衰减曲线 之内，且当 ， 时振动才停止。故此振动称为自由衰减振动， 称为衰减系数， 越大表示阻尼越大，振幅衰减越快，如图3所示。严格说这已经不是周期振动但仍然保持恒定的振动频率 ，即系统的固有频率。在故障诊断信号中，很多信号都呈现这种自由衰减曲线的特征。例如滚动轴承由于周期性的缺陷冲击，会引起轴承及支承部件的自由衰减振动，这个自由衰减振动的频率就是某个部件某阶振动的固有频率。
图3 自由衰减振动响应曲线
1.3 简谐受迫振动
图4 激振力作用下有阻尼单自由度振动系统模型
单自由度弹簧质量块系统如图4所示，其质量块 在外力 作用下的运动方程为：式中， 是简谐激振力，为系统的输入。
式(14)可写成：
式中， ，其余同前。忽略阻尼，方程变为:
该式为非齐次方程，它的全解为：
其中， 为方程的通解， 为方程的特解。弱阻尼状态下的 就为前述的式(10)通解，为一个自由衰减振动，仅存在振动的初始阶段，可忽略不计。特解 表示系统在简谐激振力作用下产生的受迫振动，是持续的等幅振动，称为稳态振动。根据微分方程非齐次项是简谐函数的特性，特解 的形式也应为简谐函数，其振动频率与外激振力频率相等，但与外激振力之间存在一定的相位差，且受迫振动的位移变化总是滞后于激振力的变化。设方程的特解为: 式(17)
式中， 为稳态振动的振幅； 为相位差。将式(17)代入式(15)得到：
展开其中 项，得到：
在任意时间，同角的正弦、余弦不可能同时为零，因此要使上式成立，必须有：
式(18)
由以上方程组解出和两个待定系数，即：
式(19)
式(20)
式中 一一等效于激振力 静止地作用于弹簧上产生的静变形
一一频率比，等于系统激振频率与系统固有频率之比，
由式(19)可以看出，受迫振动的振幅 与激振力的振幅 成正比，令：
式(21)
式中， 为振幅放大因子，表示强迫振动的振幅与静变形之比。根据式(20)和式(21)绘制的幅频响应曲线和相频响应曲线如图5所示。
图5 受迫振动时的幅频响应曲线和相频响应曲线
通常把幅频曲线上幅值比最大处的频率 称为位移共振频率。当令式 (21)对 的一阶导数为零时，可求得: 式(22)
位移共振频率 随着阻尼的减小而向固有频率 靠近。在小阻尼时， 很接近 ，故常采用 作为 的估计值。若输入为力，输出为振动速度时，则系统幅频特性的最大值处的频率称为速度共振频率。速度共振频率始终和固有频率相等。对于加速度响应的共振频率则总是大于系统的固有频率。从相频曲线上可看到，不管系统的阻尼比是多少，在 时位移始终落后于激振力 90°，这种现象称为相位共振。当系统有一定的阻尼时，位移幅频曲线峰顶变得平坦，位移共振率既不易测准又离固有频率较远。从相频曲线看，在固有频率处位移响应总是滞后90°，而且这段曲线比较陡峭，频率稍有偏移，相位就明显偏离 90°。所以用相频曲线来测定固有频率比较准确。由图5还可看出：
- 在激振力频率远小于固有频率时，输出位移随激振频率的变化只有微小变化，几乎和“静态”激振力所引起的位移一样。
- 在激振频率远大于固有频率时，输出位移接近零，质量块近于静止。
- 在激振频率接近系统固有频率时，系统的响应特性主要取决于系统的阻尼，并随频率的变化而剧烈变化。
- 总之，就高频和低频两频率区而言，系统响应特性类似于低通滤波器，但在共振频率附近的频率区，则根本不同于低通滤波器，输出位移对频率、阻尼的变化都十分敏感。
(2)由基础运动所引起的受迫振动
图6 基础运动所引起的受迫振动
在许多情况下，振动系统的受迫振动是由基础运动所引起的。设基础的绝对位移为 ，质量块 的绝对位移为 ，分析图6右边自由体上的受力状况，可得: 式(23)
或
式(24)
假设基础振动是简谐振动， 。与式(16)相比，可见系统相当于2个激振力，可用复指数方式求出系统的放大因子和相位如下:
式(25)
式(26)
按式(25)和式(26)绘制的幅频响应曲线和相频响应曲线如图7所示。此图表明，当激振频率远小于系统固有频率 时，质量块相对基础的振动幅值为零，意味着质量块几乎跟随着基础一起振动，两者相对运动极小。而当激振频率远高于固有频率 时， 接近于1，这表明质量块和壳体之间的相对运动 (输出)和基础的振动(输人)近于相等，从而表明质量块在惯性坐标中几乎处于静止状态，这种现象被广泛应用于测振仪器中。
图7 基础激振时的幅频响应曲线和相频响应曲线
1.4 单自由度系统振动理论的应用
(1)利用冲击响应测试叶片固有频率
为了避免设备的某些部件 (如发电机定子线圈、汽轮机叶片等) 在运行中发生共振现象，在机组检修时经常需要测试这些部件的固有频率，可以采用前述的有阻尼自由衰减振动方法来测得。以汽轮机叶片测试为例，在叶片端部施加一个脉冲冲击力，相当于给定初始条件为 ， ，原因是脉冲作用时间极短，系统在瞬间无法获得位移增量，因此 ；但是，系统可以获得一个初始的速度增量，其与冲击力的幅值 成正比，与质量 成反比，即 。记录此时叶片受到冲击作用后的振荡衰减加速度信号波形，并对该波形进行频谱分析，找出其中的主频，即可求出叶片固有频率 ，如图8所示。
图8 利用冲击响应测试叶片固有频率
(2)刚性转子偏心质量激振下系统的响应
旋转机械如电动机、离心泵等设备的转动部件，通常称为转子，转子在运行中最常见的故障就是不平衡，表现为存在偏心质量。如果系统的激振力是因转子的偏心质量引起的，则与简谐激振力直接作用于质量块上的受迫振动情况略有不同，下面详细讨论。
图9 电动机单自由度振动
系统如图9(a)所示，电动机安装于由槽钢组成的简支梁上。当转子的偏心距为 ，偏心质量为 时，可以建立图9(b)所示的振动模型。设电动机质量为 (略去梁重)，电动机转速为 ，系统(梁) 的弹簧刚度系数为 ，阻尼系数为 。转子的旋转角速度为 ，故产生的离心惯性力大小为 。若以平衡位置为原点建立坐标 ，设偏心质量在水平位置为起始位置，则 在 方向上投影即为垂直激振力 式(27)
根据前面的推导方法，直接可列出振动微分方程：
或
式(28)
在此仅讨论稳态特解，按式 (17)，设特解为：
式(29)
其中：
式(30)
式(31)
振幅放大因子为：
式(32)
由式(32)可以看出，放大系数与偏心质量矩 成正比，所以要减少系统的振动，必须减少转动部分的偏心，因此发电机、离心式压缩机和汽轮机转子通常都要做动平衡试验，校正不平衡状态，以减少不平衡引起的振动。
振动测试的目的是对机器设备的振动量进行定量检测，进而分析产生振动的原因，找出发生故障的部位。为了获取机械设备的振动信息，可以采用不同的振动测量与分析系统。图10所示系统是一种最简单的振动测量系统。加速度传感器将被测的机械振动量信息转换成电量信息输入振动计，从振动计上可以直接读出振动量的位移、速度和加速度的有效值等参数，主要用于现场测量与诊断。有些超小型振动计可以将加速度传感器和放大器直接安装在仪器中，非常适合设备点检等定期诊断工作。
图11 便携式测振与分析系统
图11所示是目前应用较普遍的便携式测振与分析系统。数据采集分析仪(也称数据采集器)能把现场的振动信号采集并记录下来。仪器本身具有现场频谱分析等功能，也可以通过串行通讯方式或通过移动存储设备与计算机进行数据交换，由计算机完成振动数据的分类、存储及更高级的信号处理工作。为了现场使用方便，系统中的仪器多采用电池供电工作，而且体积小，便于携带。对于在役的大型重要设备，例如汽轮机组，多数采用固定式在线振动监控系统，如图12所示。振动数据(如振动位移等)一般经现场监控仪表后，再进入在线监控计算机或离线的便携数据采集设备。监控仪表主要完成振动烈度或有效值的实时监测，并根据设定的安全值来控制或启动安全控制系统，保证设备能在振动超限时及时停车，避免恶性事故发生。这种系统一般检测参数较多，成本较高。
图12 在线式振动监控、诊断系统
为了在实验室中获取振动信号，往往采用若干个独立仪器组成的测试系统，如图13所示。可针对故障模拟试验台等设备进行振动(例如加速度) 检测与分析，其特点是组成和分拆容易，适合多种检测方式，可以提高仪器设备的利用率。
图13 实验室振动测试诊断系统
在这些检测与诊断系统中，后端的分析仪器产品种类繁多，这里不做详细介绍。考虑到传感器是振动参数能否准确获取的关键一环，下面仅对传感器部分做一简单介绍。目前，机械振动故障信号测取传感器常用电涡流位移、磁电式速度和压电式加速度传感器三种，可以分别获取振动的位移、速度和加速度三种信号。3.1 电涡流位移传感器
(1)电涡流位移传感器的工作原理
电涡流位移传感器是一种非接触式测振传感器，工作原理是利用金属导体在交变磁场中的涡电流效应。金属导体置于变化的磁场中或在磁场中作切割磁力线运动时，导体内将产生呈漩涡状的感应电流，此电流叫涡电流，这种现象叫电涡流效应。
图14 电涡流位移传感器原理图
图14为电涡流位移传感器原理图，传感器主要由线圈和被测金属导体组成。根据电磁感应定律，当线圈通以正弦交变电流 时，线圈周围空间必然产生正弦交变磁场，使置于此磁场中的金属导体中感应涡电流，又产生新的交变磁场。根据楞次定律，将反作用于原磁场，由于涡流磁场的作用，使得原线圈的等效阻抗发生变化，变化程度与线圈与导体间的距离有关，并且还与金属导体的电阻率，磁导率以及线圈的激磁电流频率有关。如果保持其他参数不变，而只改变其中一个参数，传感器线圈阻抗就是这个参数的单值函数。通过与传感器配用的测量电路测出阻抗的变化量，即可实现对该参数的测量。(2)电涡流位移传感器特点
图15 电涡流位移传感器结构示意图
1一壳体;2一框架;3一线圈;4一保护套;5一填料:6一螺母;7一电缆
电涡流位移传感器具有线性范围大、灵敏度高、频率范围宽 (从直流到数千赫)、抗干扰能力强、不受油污等介质影响等特点。其结构如图 15所示，典型的测试系统如图16所示。这类传感器采用非接触方式测量，能方便地测量运动部件与静止部件的间隙变化，例如轴与滑动轴承的振动位移等。试验证明：表面粗糙度对测量几乎无影响，但表面微裂缝和被测材料的电导率和磁导率对灵敏度有影响。所以在测试前最好用和试件材料相同的样件在校准装置上直接校准以取得特性曲线。这类传感器在汽轮机组、空气压缩机组等回转轴系的振动监测、故障诊断中应用甚广。
图16 电涡流位移传感器测试系统
电涡流传感器在选型时最根本的依据就是被测对象表面的变化范围(即测量范围)。一般来说，电涡流位移传感器的探头直径越大其测量范围也越宽，而其灵敏度越小。3.2 速度传感器
(1)工作原理
图17 磁电式速度传感器原理
1一永久磁铁;2一线圈;3一运动部分
速度传感器也是基于电磁感应原理的，基本原理如图17所示，这种传感器有两个基本元件：线圈和永久磁铁。当被测物体发生振动时，速度传感器和被测物体一起运动，但是由于速度传感器内的支撑弹簧的存在，使得永久磁铁和线圈做相对运动，线圈切割磁力线导体两端就感应产生电动势。在磁通密度与导线长度一定时，此电动势与导线切割磁力线的速度成正比。根据线圈运动方法的不同，这类传感器又可分为相对式和惯性式两种
图18 惯性式磁电速度传感器
1,9一弹簧片:2 磁靴;3一阻尼环:4一外壳;5一铝架;6一磁钢;7一线圈;8一线圈架;10一导线;11一接线座
图18为惯性式磁电速度传感器的结构图。磁靴2用铝架5固定在外壳4里。线圈7阻尼环3通过芯杆连在一起，再通过弹簧片1和9悬挂在传感器的外壳上。使用时，振动传感器与被测振动体紧固在一起。当被测振动体振动时，壳体也随之振动，线圈阻尼器与壳体间产生相对运动，从而切割磁力线产生感应电动势，此电动势通过接线座11输出到后续测量放大电路中。(2)特点
速度传感器的特点是：不需外部电源，输出阻抗低，不易受电磁场的干扰，即使在复杂的现场，接很长的导线仍能有较高的信噪比。但它不适用于测定冲击振动，惯性式速度传感器的频率范围一般为8~1000Hz。速度传感器安装十分方便，多用于移动式的定期检测与诊断场合3.3 加速度传感器
在机械设备故障与诊断中最常用的振动测量参数是加速度。能感受机械设备某些特征参数中加速度的变化，并转换成可用输出信号的装置称为加速度传感器 (也有称加速度计)。目前测量加速度的传感器基本上都是基于质量块、弹簧和阻尼组成的惯性测量系统。
图19 压电式加速度传感器
压电式加速度传感器是一种惯性传感器，它的输出电荷与被测得加速度成正比。常用的压电式加速度传感器的结构形式如图19所示。图中 S是弹簧，M是质量块，B是基座，P是压电元件，R是夹持环。- 图19 (a) 是中心安装压缩型，压电元件一质量块一弹簧系统装在圆形中心支柱上，支柱与基座连接。这种结构有高的共振频率。然而基座B与测试对象连接时，如果基座B有变形则将直接影响拾振器输出。此外，测试对象和环境温度变化将影响压电晶片，并使预紧力发生变化，易引起温度漂移。
- 图19(b) 为环形剪切型结构简单，能做成极小型、高共振频率的加速度传感器，环形质量块粘到装在中心支柱上的环形压电元件上。由于黏结剂会随温度增高而变软，因此最高工作温度受到限制。
- 图 19(c)为三角剪切型，压电晶片被夹牢在三角形中心柱上。加速度传感器感受轴向振动时，压电晶片承受切应力。这种结构对底座变形和温度变化有极好的隔离作用，有较高的共振频率，且幅频特性线性度好。
(2)压电式加速度传感器的力学模型
图20 压电式加速度传感器的力学模型
压电式加速度传感器的力学模型如图20所示。其壳体和振动系统固接，壳体的振动等于系统的振动。内部的质量块对壳体的相对运动量将作为力学模型的输出，供机-电转换元件转换成电量输出，该输出是振动系统的绝对振动量。不难看出，这种压电式加速度传感器实质上是遵循由基础运动所引起的受迫振动规律，其频率应特性与二阶系统的幅频和相频特性类似。压电式加速度传感器的幅频特性如图21所示，在小于1Hz的频段中，加速度传感器输出明显减小。加速度传感器的使用上限频率取决于幅频曲线中的共振频率。通常传感器仅使用频响特性的直线部分，因此有效工作频率上限远低于其共振频率。一般测量的上限频率取传感器固有频率的 1/3，这时测得的振动量的误差不大于 12%(约1dB)。对于灵敏度较高的通用型加速度传感器，其固有频率在 30kHz 左右，故有 10kHz的测量上限频率。
图21 压电式加速度传感器的幅频特性
当振动测量用于机器设备监测与诊断时，对于检测结果的重复性和线性度要求不高，此时采用的频率范围可适当放宽。
图21所示的幅频曲线是在刚性连接的情况下得到的，实际使用时往往不一定采用这种连接方式，因而共振频率和使用上限频率都会有所下降。
图22 振动加速度传感器的典型固定方法
故障诊断中加速度传感器常用的固定方法见图22所示。- 采用钢螺栓固定，是可以使共振频率能达到出厂共振频率的最好方法；
- 手持探针测振方法在多点巡回测试时使用特别方便，但测量误差较大，重复性差，使用上限频率一般不高于 1000Hz；
- 用专用永久磁铁固定加速度传感器，使用方便，多在低频测量中使用。
例如，某种典型的加速度传感器采用上述固定方法的共振频率分别为：钢螺栓固定法约为 31kHz，永久磁铁固定约为 7kHz，手持法约为2kHz。(3) 加速度传感器的特点
加速度传感器具有较宽的频带(0.2~10000Hz)，本身质量较小(一般为2~50g)，动态范围大，灵敏度高(特别是在高频部分更显出其优于其他形式的传感器)等特点。因而在振动测试中得到广泛的应用。但在选用加速度传感器时，除了应注意其工作频率范围，尽量使被测频率在传感器频率特性曲线的直线内(图21)这一点之外，对传感器的安装方式也应给予足够的重视。(4) 加速度传感器与测试仪器的连接方式
图23 加速度传感器系统配置
加速度传感器的输出是一个低电平、高阻抗信号，为了与动态信号分析仪等后续数据采集与分析等设备相连，加速度传感器需要用一个电荷放大器来转换。如图23(a) 所示另外还有一种 ICP加速度传感器 (集成电路压电传感器)，能直接转换成适合的输出信号与动态信号分析仪连接，如图 2.30 (b)所示。ICP 加速度传感器的主要优点是不需要用电荷放大器转换电信号，也不需要用高价的低噪音电缆做信号转换线。由于采用恒流源方式传输信号，ICP加速度传感器需要外部提供直流电源(24VDC)。
