非线性动力学原理

来源：前沿物理纵览微信公众号（ID：physicsfrontier）

非线性系统的显著特征是，系统的输入输出之间不满足线性关系。反映在动力系统方程中，作用项中会出现诸如平方项等非线性函数项。真实的系统一般都是非线性系统，线性的描述只能说在很多场合下的近似。

从热力学系统的角度看，非线性动力学系统处于远离平衡态，即研究对象并非处在某种平衡态中，也不是受到大小固定的力或力矩，例如牛顿第二定律中描述的，在特定平面上受到某一方向的力而加速运动的物体。远离平衡态的系统，其演化有着很大的自由度，例如某一地区狼与兔子等种群的数量，其自由度是很大的，受到的影响因素很多。如果以狼的数量为x轴，兔子的数量为y轴，则以狼和兔子数量描述的系统状态在xy相空间中对应一点，随时间的进行可以演化出一条连续的轨迹。非线性系统中一种比较常见的行为是自发的周期性振荡，此时在相空间中对应一条闭合的轨迹，在早期的观念中，此类的非线性行为常被称为自组织或耗散结构。

非线性科学一般分为孤子、斑图动力学、分形、混沌等几个分支，由于可以使用对真实系统描述的非线性微分方程来进行比较准确的理论及数值建模，斑图动力学作为一个较新的分支获得了发展，主要探索诸系统之间共同存在的、具有普遍指导意义的斑图形成的基本规律。斑图动力学的系统研究起于1952年图灵对反应扩散系统的研究，图灵在其论文《形态形成的化学基础》中，从数学角度表明，在反应扩散系统中，稳定均匀态会在某些条件下失稳，并自发产生空间定态图纹，例如斑马的条纹，这也是斑图这一名称的由来。

图1 均匀定态失稳形成的图灵斑图

斑图动力学的一个重要概念是开放系统中形态的自发形成，即均匀定态的失稳（也称分叉）。举个形态自发形成的例子，雨量比较充沛的时候，草原上的草可以像地毯一样铺满整个地面，当雨量作为一个变量逐渐减小超过一个临界值的时候，雨水无法支撑草原地毯的需要，于是草可能会形成一定的斑图，通常为六角斑图，它是由对称性选择而发生的。再举一个例子，天空中的降雨也是由于水蒸气的密度超过临界值而发生的（另一个内在机制是凝结核的作用）。

图2 生物细胞周期状态在相空间的演化路径

如果在动力系统中考虑时间，分叉后通常会形成振荡，例如典型的时空振荡斑图——螺旋波，其中心流形可以是一个圆环。如果系统是多变量的，分叉后形成的中心流形是分形的形态或者其他复杂的几何面甚至几何体，那么系统的状态就会非常随机的在中心流形中游荡，这就是混沌的产生机理。奇妙之处在于，混沌可以在确定性系统中产生，即变量的变化模型完全是确定的，例如洛伦兹吸引子及其描述的蝴蝶效应。

图3 洛伦兹吸引子

由于可以描述动力系统从无序向有序和由有序向无序转化中的行为，非线性动力学非常适合于描述自然演化的系统，具体的例子如自然种群数量问题、生物基因表达问题、心脏心颤与心脏病治疗、半沙漠地区植被发育、水面孤子波等，应用的学科非常广泛，化学、生物学、流体力学、经典力学、协同学等等。

原文注：部分引用源：学术期刊《physical review letters》，学术著作《非性科学与斑图动力学介绍》，《Introduction to Nonlinear Science》