POF | 天津大学徐连超等：一种适用于非稳定流场的动力模态分解方法

下面从模态时间系数改进、模态排序准则定义、新方法验证三个方面，介绍DMD-TC方法。  

一种适用于非稳定流场的动力模态分解方法

徐连超^1,2，刘正先^1,2，李孝检^1,2,*，赵明^1,2，赵祎佳3

1 天津大学 机械工程学院，天津300350 

2 天津大学 天津市现代工程力学实验室，天津300350 

3 天津商业大学 机械工程学院，天津300134 

引用格式：Xu L, Liu Z, Li X, et al. An improved mode time coefficient for dynamic mode decomposition[J]. Physics of Fluids, 2023, 35(10).

由标准DMD得到的模态时间系数总是呈指数增长或衰减，然而，对于非线性动力系统，比如瞬态流动，DMD模态随时间呈非指数变化。以指数形式变化的时间系数不能准确描述模态的变化规律。为此，提出了新的模态时间系数表达式：

 

在推导过程中没有引入关于两个相邻快照之间关系的进一步假设。因此，改进的模态时间系数并不局限于处理具有指数增长率的模态。从理论上讲，它具有描述任何类型增长率模态的潜力，在后续的算例测试中也证实了DMD-TC方法的这一优越性。

1. 2.模态排序准则定义    

参考文献(Kou & Zhang et al., European Journal of Mechanics - B/Fluids, 2017)中对模态能量的定义，并将改进的模态时间系数替换传统的时间系数，得到第j个模态的能量值

其中是列向量中所有元素绝对值之和，是第j个模态的改进时间系数。那么，第j个模态的能量占比为

根据上式计算所得能量占比的大小，即可对模态进行排序和选择。针对具有非指数增长率的模态，上述模态选取准则能够提供更合理的排序。

1. 3.新方法验证    

首先对比了DMD和DMD-TC得到的子函数的模态时间系数，存在明显区别。

然后比较了精确解、DMD和DMD-TC技术重构得到的子函数，发现DMD-TC重构得到的子函数与精确解吻合更好，能够较好地处理具有间歇特性和瞬变特性的模态。

最后将DMD、Kou & Zhang方法、DMD-TC得到的模态能量占比进行了对比，证明DMD-TC方法更可能得到合理的模态排序。

选取流场监测点的表压进行验证，比较了CFD结果与DMD、DMD-TC重构结果（以E点为例），DMD-TC重构与CFD结果吻合较好。

选取流场监测点的表压进行验证，比较了CFD结果与DMD、DMD-TC重构结果（以B点为例），DMD-TC与CFD结果吻合较好。

最后将DMD与DMD-TC得到的不稳定模态时间系数进行了对比（以模态ω=53.594Hz为例），发现DMD-TC的时间系数具有间歇性特征，这很好地解释了DMD-TC能够精准捕捉翼型动态失速的多尺度扰动。

以上验证算例表明：DMD-TC方法可以识别非稳定流场的关键模态，即使具有微小的初始幅值；同时可以准确描述模态的演变规律，包括指数型、对数型、线性、渐变间歇型、瞬变间歇型及其他复杂的演化规律。因此，DMD-TC是一种具有潜力的非稳定流场分析新方法。