有限元基础编程 | 弹簧边界条件如何处理？

木木有限元编程小课堂开课啦！

本次分享的是弹簧支撑的边界条件在程序中如何处理？

本篇推文的灵感来源于：

• MATLAB codes for finite element analysis[M].
• A first course in the finite element method[M]

本次分享不会系统讲述有限元的求解过程，假定你已经有一定的有限元编程基础（杆单元的功底），如果没有也无妨，可移步木木早期推文：二维杆单元。

推文将会围绕以下方面进行分享：

• 弹簧支撑边界条件，内核求解程序如何处理？
• 弹簧支撑的边界条件有什么作用？

本次所要解决的主要问题示意图如下：

 

用户可根据本篇推文的理解，在自己程序上进行适当修改，适应自己的程序背景。

如何看待？

对于弹簧支撑的边界条件，可将之看作是混合单元问题，对于今天的案例，看作是两个杆单元和一个弹簧单元组合而成的模型。

模型本身的边界条件为1节点处受到弹簧的支撑作用和外载荷作用，转换为混合单元后，模型就变为4节点处的自由度为0。

那么在程序中如何处理呢？且看下节：

程序处理

整体刚度矩阵组装分为两步，第一步是组装杆单元，遍历杆单元数量，对单元刚度矩阵按照局部编码和全局编码的原则，组装到整体刚度矩阵中；第二步是组装弹簧单元，遍历弹簧单元的数量，对单元刚度矩阵按照局部编码和全局编码的原则，组装到整体刚度矩阵中，最终的整体刚度矩阵就是模型的整刚。

程序截图如下：

对于弹簧刚度，这里做一个补充。一维情况下的弹簧刚度矩阵为：

二维情况下，弹簧刚度分为    向刚度    和    向刚度    ，弹簧刚度矩阵为：

对于本次案例，可看作是    ，只考虑    的影响，即刚度矩阵变为：

案例介绍

下图所示的模型系统中，探究在力F的作用下，1节点的位移量，解析解为{-1.724，-3.448}。

 

用今天的转换思想，程序求得的1节点位移量为：{-1.724，-3.448}，与解析解一致。

接下来我们来点发挥~试改变弹簧刚度大小，探究一些有意思的问题。

弹簧边界作用

我们把弹簧刚度取小一点，看看能不能模拟无约束的情况。

无弹簧约束时，1节点位移量为：

{-2.381,-4.762}。

弹簧刚度取10时，1节点位移量：

{-2.376,-4.753}

弹簧刚度取1时，1节点位移量：

{-2.381,-4.761}

当弹簧刚度越来越小时，节点1的位移量趋于无弹簧约束时的情况。

y方向有固定约束，在x方向施加F的力，1节点位移量为：

{-1.191}。

弹簧刚度取1.0e5时，1节点位移量：

{-1.250,-0.119}

弹簧刚度取10时，1节点位移量：

{-1.191,-0.001}

会发现随着刚度的增大，y方向的位移逐渐减小，最终趋于0，x方向趋于y方向有固定约束，在x方向施加F的力的情况。

边界条件加入弹簧的作用：

1. 模拟弹性连接：弹簧支撑可以模拟实际工程中的弹性连接件，如橡胶垫、弹簧减震器等。
2. 引入局部柔性：在某些情况下，结构的局部区域可能比其余部分更柔软或更有弹性。弹簧支撑边界条件可以在有限元模型中模拟这种局部柔性。
3. 非线性分析：在某些情况下，弹簧支撑的特性可能是非线性的，如预紧弹簧或具有非线性刚度特性的材料，这在非线性有限元分析中尤为重要。

希望可以激发一些小伙伴在研究工作中的灵感，如弹簧减震器之类的领域。

声明：在浩瀚的有限元知识海洋遨游中，发现有意思的点，自己瞎琢磨琢磨，分享出来，乐趣无穷~但由于木木非力学科班出身，水平有限，原创推文均为自己对于数值方法的个人理解，不具权威性，如遇错误、遗漏之处，请各位同行批评指正！