有限元求解器Drect OR Iterative
在本文中，我们将探讨数字黑匣子以及选择 FEM 求解器的任务。一般来说，有一组典型的选项适用于 FEM 问题，我们从不改变它。这些就像我们永远不会改变的那些神奇参数，我们常常甚至不知道为什么它们被赋予这些值。这次，我们打开黑匣子来看看它们的含义以及它们如何影响解决方案。
直接求解器或迭代求解器：有什么区别？
当我们使用有限元方法 (FEM) 时，我们正在求解一组 [K]{u} = {f} 形式的矩阵方程。这里[K]称为刚度矩阵；{f} 为力矢量，{u} 为未知量。有多种方法可以直接求解该方程组。一种简单直接的方法（尽管不推荐）是对 [K] 求逆并乘以力向量 {f}，这直接求得了{u}。然而，对矩阵求逆是很费事的。更常用的直接计算解的方法包括高斯消去法、LU、Cholesky 和 QR 分解。
然而，当矩阵为以下情况时，这种直接方法 会失败：
矩阵非常大，例如几百万的数量级：如果矩阵的数量级为 n，则需要 n x n x n 运算来使用高斯消去法求解系统。想象一下系统有 1000 万个未知数；在这种情况下，需要 ExaFlops 量级的运算。
有很多零（通常称为稀疏矩阵）：稀疏矩阵在矩阵中有很多零。对它们进行操作（例如将零乘以零）既浪费计算资源，又完全没有意义。
无法立即直接访问整个矩阵
与直接求解器相反，迭代求解器首先假设未知数 {u} 的近似解。迭代该解决方案以达到“精确”解决方案。
什么是稀疏矩阵？
稀疏矩阵是有限元分析中常见的问题。如上所示，FEM 涉及大量矩阵运算。为了节省时间和存储空间，优选稀疏矩阵。
如图02所示，LHS上的矩阵，所有非零数都在对角线的两侧，零距离很远，通常称为带状矩阵。这样的矩阵有很多零。该矩阵被压缩并以删除零的格式存储。这样的矩阵称为稀疏矩阵。
如图 03 所示，当对称矩阵以“稀疏”格式存储时，优势甚至更大。在这种情况下，仅存储矩阵的一半。如图所示，图 03 中的 A 矩阵中的非零数量要多得多。但是，很明显，所占用的总空间与图 02 中的 B 矩阵相同。而不是 36 个位置，仅使用 18 个位置。想象一下，如果这个矩阵的大小超过一百万乘以一百万，将会节省多少！
迭代求解器实际上是如何工作的？
正如前面所讨论的，让我们假设我们正在求解方程 [K]{u} = {f}。然后做出近似的初始猜测{u0}。使用此 {u1} 进行计算，然后再次计算 {u2} 等等。继续该过程，直到我们达到解 {un}，使得 [K]{un}-{f} 几乎为零。请记住，计算机在使用实数时无法达到精确的零！
为了给出详细的答案，我们首先选择一个更简单的矩阵 [A]。一般选择是 [A] = diag[K]。[A] 开始时只取 [K] 的对角线元素。使用该矩阵[A]，通过直接求解方程，根据{u0}计算出{u1}。
迭代 n 步，方程变为
这样一直持续到{u}为止，满足找到原方程的解。
此外，迭代求解器使用称为“预处理”的过程。用最简单的术语来说，矩阵的条件数可以表示为矩阵中最大数与最小数的绝对值之比。随着条件数的增加，方程系统变得不太稳定。
当使用迭代求解器时，在开始求解过程之前会完成预处理过程。这提高了矩阵的条件数。考虑上述系统 [K]{u} = {f}。现在乘以矩阵 [M]，则得到 [M][K]{u} = [M]{f}。这不会改变解 {u}，但根据矩阵 [M] 的属性，它可以改变系统的整体行为。
直接求解器：有哪些选项？如何选择？
选择直接求解器的一般经验法则是基于系统中的自由度数量。
计算系统的自由度数
假设我们正在解决 3D 有限元问题，并且网格有 n 个节点。对于纯粹的机械问题，我们在每个节点求解三个未知数。这些是沿 x、y 和 z 方向的位移。因此，总自由度由下式给出：
对于更一般的情况，例如热机械或电水热机械问题，其中：
维数 = d
每个节点的未知数 = p
网格中的节点数 = n
系统的总自由度如下：
一般来说，默认选项应该可以正常工作。然而，了解这些数字的含义可能会很有用。
迭代求解器：有哪些选项？如何选择？
PETSc 和 GCPC 求解器都使用预处理并允许不同的选项。从图 05 可以明显看出，GCPC 中的选项要有限得多，而且 PETSc 也提供了这些选项。在两者之间进行选择时的一般经验法则是，GCPC 适合运行较小问题的初学者用户，而 PETSc 更适合运行较大问题并对自定义感兴趣的高级用户。
这里需要考虑两个主要选项：预处理技术和求解算法。如前所述，预处理技术改进了矩阵的条件数。求解算法是求解方程组的实际工作。
有多种预处理器可用，建议探索它们以找到适合您确切需求的解决方案。这里没有“适合所有人”的解决方案。一般来说，MUMPS LDLT 是推荐的选项，因为它利用了 MUMPS 软件包的优势。就我个人而言，SOR 是我最喜欢的，因为它为涉及非线性弹性的问题提供了稳定性。
关于求解器，GCPC 仅限于 CG 求解器。PETSc 提供其他几种选择。CG（共轭梯度）和 CR（共轭残差）仅适用于对称矩阵，而 GCR（广义共轭残差）则适用于所有矩阵。GMRES 是我的最爱。GMRES 在计算速度、鲁棒性和可靠性之间提供了良好的平衡。如果您不确定，GMRES 始终是一个安全的选择。
求解器选项
“非线性分辨率”选项为用户提供了更多的定制选项。在每次全局迭代（直接求解器）或局部 + 全局迭代（迭代求解器）时，都会使用一个简单的算法来求解方程。这里使用简单的算法，如牛顿-拉夫森、拟牛顿等。对于直接求解器，只有“牛顿”选项可用。“Newton-Krylov”针对迭代求解器进行了优化，强烈推荐。
首先，对“预测矩阵”和“雅可比矩阵”选项使用相同的选项是一个很好的做法。使用“切线矩阵”称为牛顿法，而使用“弹性矩阵”称为拟牛顿法。对于矩阵可能不具有所有良好属性的耦合问题，建议使用拟牛顿方法。例如，在热机械问题中，拟牛顿法非常适合。否则，强烈建议使用雅可比选项（或完整牛顿法）来准确解决结构问题。
如果问题适定，牛顿法就会表现出“二次收敛”。这意味着 3-7 次迭代即可达到收敛。在某些情况下，这可能并不总是发生。最常见的原因之一是所选的时间步长对于问题的该部分来说太大。在这种情况下，问题将无法收敛。如果选择自动时间步长，则时间步长会减小，直到达到收敛。可以在此处选择系统声明不收敛并减少时间步时的最大迭代次数。默认值 15 通常就足够了。
线搜索有必要吗？应该什么时候使用？
线搜索将计算的步长减小为更小的增量。由于步长较小，这会自动提高收敛性。即使存在非线性，线搜索并不总是必要的。但是，建议在涉及材料屈服的弹塑性问题中使用它。这里刚度矩阵的导数在屈服点快速变化。线搜索可以显着提高此类场景下的收敛性。然而，在存在接触约束的情况下，不鼓励使用线搜索。
对于纯弹性问题，一般不需要线搜索。
总结 FEM 求解器
直接求解器还是迭代求解器？
如果自由度数小于一百万，则选用直接求解器
使用哪个直接求解器？
如果自由度数小于 50,000，LDLT 效果很好
对于较大的问题，建议使用 Multfront
要充分发挥并行计算的潜力，请使用 MUMPS
使用哪种迭代求解器？
对于较小的问题，GCPC迭代求解器也值得一试
设置非线性分辨率选项
对于直接求解器，请使用“Newton”选项，对于迭代求解器使用“Newton-Raphson”
什么时候使用线搜索？
对于涉及材料屈服的弹塑性问题很有用。
希望本文能够解答您有关 FEM 求解器的最重要问题以及如何在仿真中进行选择。
