数字孪生模型降阶方法概述

来源：市场监管领域

数字孪生重点实验室

数字孪生涉及物理结构不同状态下大规模的数值模拟，高效的算法是关键。模型降阶是一有效途径，对其研究可以推动数字孪生模型的发展，是未来智能制造的发展方向。基于降阶模型技术可以将三维流体、结构、电磁、热等物理场仿真模型降阶为可以实时仿真的数字孪生组件模型，实现对关键组件的预测和维护，为复杂系统的决策提供高可靠性依据。

数字孪生方面，归纳来看，降阶模型技术对于仿真分析的价值主要有三点：

1）将具有高保真度的仿真模型尽可能简化，进而满足系统实时仿真和快速优化的需求；

2）降低模型仿真时所需要的CPU计算时间及硬盘存储空间；

3）增强数字孪生泛在部署能力，从而能够支持上万个场景并行仿真，加速测试验证的速度。

目前构造降阶模型的方法主要有简化模型法、数据拟合法和投影法，其中，简化模型法是指在对所研究对象的本质有完全的数学性和物理性理解，对表达对象的微分方程进行近似，用数学的方法通过忽略模型的非线性项和粗化的网格剖分来简化有限元计算过程；数据拟合方法是基于所研究对象的大量数据，建立黑箱模型对模型的输入输出拟合。投影法是基于数学方法推导出不同的基函数，选取合适的能代表原系统的阶次截断后形成低阶子空间，再将投影到该低阶子空间中将原模型进行降阶。

本次主要对拟合方法和投影方法进行介绍。首先是拟合方法，主要有高斯回归、支持向量回归、神经网络等。

高斯回归算法是一种基于高斯函数的回归分析方法，即通过对数据进行拟合，获得一条能够描述数据趋势的曲线（见图1）。其优点是能够较准确地拟合非线性函数，具有较好的灵活性和泛化能力，可以适应不同的数据分布和模式，主要思想是通过调节高斯函数的相关参数，使函数与数据的拟合程度达到最优。在进行高斯回归时，需要确定函数的类型、均值和标准差等参数。算法流程主要包括数据预处理、高斯函数拟合、参数调节和模型评估等步骤。

支持向量回归（Support Vector Regression，SVR）是基于支持向量机的回归方法，主要基于函数间隔最大化原理，以最大程度间隔训练数据集的正负样本，通过选择最优分隔超平面最小化回归残差平方和，从而建立最优回归曲线（见图2）。该方法通过使用核函数将低维的特征映射到高维空间，然后在高维空间中进行线性回归，从而取得在原空间非线性回归的效果，不仅能够解决支持向量机只能处理二分类问题的短板，也解决了对训练数据中噪声敏感的缺陷。

图2 SVR算法原理

主流的神经网络算法从模型架构上主要可分为卷积神经网络、循环神经网络和注意力机制。卷积神经网络由LeCun在1989年提出，是一种用来专门处理具有类似网络结构的数据的神经网络，一般情况用于处理图像。卷积是一种特殊的线性运算（见图3），卷积网络是指那些至少在网络的一层中使用卷积运算来替代一般矩阵乘法运算的神经网络。循环神经网络是一类用于处理序列数据的神经网络，通过将当前时刻的输入与上一时刻的隐藏状态进行连接，实现对连续序列数据的建模和预测（见图4），一般情况用于处理自然语言。注意力机制是一种模仿人类视觉和认知系统的方法，它允许神经网络在处理输入数据时集中注意力于某些相关的部分。通过引入注意力机制，神经网络能够自动地学习并选择性关注输入中的重要信息，提高模型性能和泛化能力。该过程是一个可并行运算的过程，且从一开始就在捕捉全局关系（见图5）。

接下来介绍投影法，通常有本征正交分解(Proper orthogonal decomposition，POD)、动态模态分解（Dynamic mode decomposition，DMD）和Krylov子空间方法等。

本征正交分解是一种用于提取离散数据特征信息的数学方法，目的是把多维随机过程进行低维近似描述，并提取复杂随机过程的本质特征。它将一个信号分解成多个正交的空间特征模态，每个特征模态都代表了信号中的空间结构。这些特征模态按照其重要性排序，通常前几个特征模态就包含了信息中绝大部分的能量。其优点是可以提取信号中的空间结构信息，主要实现方法有Kosambi-Karhunen-Loève（K-L）展开、主成分分析和奇异值分解等。

动态模态分解是一种数据驱动的动力学建模方法，最早被用来分析流体的动态方程，它可以把复杂的流动过程分解为低秩的时空特征，其强大之处在于不依赖于动态系统中的任何方程。作为衍生，动态模态分解可用来分析多元时间序列，可以将一个信号分解成多个动态模式，每个动态模式代表了信号中的一种时间动态特征，这些动态模态按照其重要性排序，通常前几个特征模态就包含了信息中绝大部分的能量。其优点是可以提取信号中的时间动态信息，对于流体力学、控制系统等领域的信号分析有着广泛的应用。

Krylov子空间法是科里洛夫最著名的贡献之一，在该方法中，他构造了由矩阵和向量生成的Krylov子空间，并使用该子空间来逼近线性方程组的解。该方法具有计算稳定、容易实现、计算量小且适用于大型系统的优点。其中具有代表性的算法有共轭残差算法、广义极小残差算法、双正交Lanczos类算法等。

作为数字孪生的重要技术环节，对模型降阶不仅可以降低计算复杂性和存储要求，而且可以使误差受控且保持在预期精度。本文研究工作仅对数字孪生降阶模型方法中的拟合法和投影法进行了初步概述，具体实施细节仍需进一步完善。后续作者团队将进一步结合实际应用需求，深入研究和探讨数字孪生模型降阶方法，来提高模型的准确性和效率。