阻尼（damping）是指任何振动系统在振动中，由于外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征[1]。

在《结构动力学》[2]中对阻尼的描述为：对于弹簧-质点体系，给一初始的扰动（初始位移或初始速度）后，质点在平衡点附近作往复振动，称之为自由振动。如果结构体系仅由理想的弹簧和质量块组成，而没有其他影响因素存在，自由振动将持续下去。而实际问题并不存在这样的振动，任何的振动在没有持续外力作用下，经过一段时间都将衰减为0，结构最后趋向静止。说明任何结构在自由振动过程中一定存在能量的消耗。引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的这种作用称为阻尼，也称为阻尼力。

在结构动力反应问题中一般采用高度理想化的方法来考虑阻尼，往往采用粘性阻尼假设，阻尼系数采用粘性阻尼消耗的能量等于所有阻尼机制引起的能量消耗的方法确定。在单自由度体系中，粘性阻尼力表示为

 式中，下标D表示阻尼；fD为阻尼力；c为阻尼系数；后面那个是质点的运动速度。

虽然在真实结构中，阻尼由不同能量耗散机制共同引起，但为了便于数学上的分析，常常把这些阻尼理想化为等效的粘性阻尼，即阻尼力的大小与质点的速度成正比，方向与之相反，即式（1）。

无阻尼单自由度体系自由振动的运动方程为

引起体系自由振动的扰动可以用初始条件表示，即由于初始扰动的影响而使体系产生非零的初始位移或速度，定义初始条件为

式（2）是二阶齐次常微分方程，设解的形式为：

式中，常数s是待定的；A为常系数（当s是纯虚数时，A代表振幅）。可以解的一个通解，过程不写了（我也不会）。可得到体系无阻尼自由振动的解为

其中

这个东西是圆频率，或者叫角速度。

分析一下式（5），会发现是周期性的函数，每个时间段Tn，都有

这个东西叫自振周期。这是体系的固有特性，自振频率fn是他分之一，注意区别自振频率和圆频率，因为有时候也会叫ωn自振频率。

有阻尼单自由度体系自由振动的运动方程为

将式（4）代入式（8），得到

令式（9）中的根式等于0，得到临界阻尼值ccr 为

可见临界阻尼也是完全由结构的刚度和质量决定的，当结构的阻尼系数c正好等于临界阻尼的时候，可以解的特征根，特征方程有两个相同的实根，则方程的解为

式中，A，B是待定系数，由初始条件确定，

满足初始条件的临界阻尼体系运动的最终形式为

当结构体系的阻尼小于临界阻尼时，体系才会自由振荡。这也就是临界阻尼的定义，即体系自由振动反应中不出现往复振动所需要的最小阻尼值。

有阻尼结构动力反应分析中，均采用阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值ξ来表示结构的阻尼大小。

2. ABAQUS阻尼

ABAQUS[3]动力分析主要有两种途径，一种是直接积分（显式隐式），一种是振型分解（模态分析，modal dynamic），以下前4种都属于*Modal damping

（1）模型分析法-直接模态阻尼

模态阻尼即直接为系统中每个模态赋予阻尼比。可在分析步中定义直接模态阻尼。

（2）模态分析法-瑞利阻尼

瑞利阻尼中，阻尼矩阵常假设为质量矩阵和刚度矩阵的线性结合。（没有严格的物理意义）

式中，M、K分别为质量矩阵和刚度矩阵;α、β分别为质量系数和刚度系数。α、β值分别由以下公式计算确定：              

式中，ζi、ζj和ωi、ωj分别为第i、j阶模态的阻尼比和圆频率。据说α、β可以用来消除低频区和高频区。

这里定义的瑞利阻尼可以设置不同模态的，可以不是一个固定的。也就是说是可以定义不同阶段的阻尼比，有啥用我不知道。不过需要注意的是，step中的阻尼优先级大于材料里瑞利阻尼的，同时定义的时候不考虑材料里设置的。

（3）模态分析法-复合阻尼

在材料中定义一部分。对于每种材料的阻尼定义临界阻尼比，这样就能得到整体结构的复合阻尼，适用于多种材料组成的系统。

（4） 模态分析法-结构阻尼

描述系统在振动过程中能量损耗，咋用我不知道。

（5）直接积分法-材料阻尼（瑞利阻尼）

在inp中为*Damping，在材料中定义。其参数α、β用于直接积分法，模型分析法时不能用。而参数composite可用于模型分析法中的复合阻尼的定义。使用软件ABAQUS的模态分析功能可得到模型的频率，选取2个用于频率点时选择覆盖感兴趣频段范围的即可。瑞利阻尼方便在于系统的特征频率和对应的无阻尼系统特征值一致，方便易用。不过对于大阻尼系统不可靠，即阻尼值超过10%临界阻尼时。

（6）显式积分-体积粘度

显式动力学分析中，可以设置体积粘性阻尼控制耗能。

*BULK VISCOSITY