拓扑优化：构筑结构设计的未来蓝图？

  近年来，结构工程领域的科技进步日新月异，拓扑优化作为一项引领潮流的高级优化方法，正逐渐成为结构设计的焦点。从古代赵州桥的原始拓扑优化理论到现代工程领域的复杂应用，拓扑优化的发展承载了人类对于结构极致性能和效率的追求。本文将深入探讨拓扑优化的概念、历史渊源以及在结构优化的三个层次中的关键作用，为读者揭示这一领域的前沿知识与科学见解。欢迎大家讨论！

  拓扑优化是结构工程领域中一项重要的研究方向，根据研究的结构对象可将其分为离散体结构拓扑优化和连续体结构拓扑优化两大类。离散体结构拓扑优化主要涉及桁架、刚架、加强筋板、膜等骨架结构及它们的组合，其起源可以追溯到 1904 年Michell提出的桁架理论。Michell的理论虽然具有一定的局限性，但为后续的优化方法奠定了基础。基结构方法是离散结构拓扑优化中的一个重要方法，克服了Michell桁架理论的不适应性，引入了数值方法，建立了由结构节点、载荷作用点和支撑点组成的节点组合，并通过杆件连接形成基结构。基结构方法以基结构作为初始设计，通过调整杆件面积的设计变量，采用优化算法进行拓扑优化。

图1. 结构优化的三个阶段

  在离散结构拓扑优化方面，包括桁架结构在内，已经取得了较为成熟的研究成果，国内外有许多深入的研究和文献。近年来，连续体结构拓扑优化理论也得到了快速发展，成为结构优化领域的难点和热点问题。连续体结构优化可以根据设计变量的类型和求解问题的难易程度分为尺寸优化、形状优化和拓扑优化三个层次。这三个层次分别对应于产品设计的概念阶段、基本设计阶段和详细设计阶段。尺寸优化涉及尺寸变量，形状优化涉及形状变量，而拓扑优化则涉及拓扑变量。这种层次划分有助于在不同设计阶段采用合适的优化方法，推动结构优化的全面发展。Schmit于20世纪60年代初将结构优化问题表述为数学规划问题，并采用数学规划算法求解，成为结构优化领域的重要里程碑。

图2. 尺寸优化示意图 (a) 原始桁架结构 (b) 尺寸优化后的最优桁架结构

  尺寸优化，也称为Sizing Optimization，是结构优化领域的一种方法。在尺寸优化中，目标是在保持结构的形状和拓扑结构不变的情况下，寻找结构组件的最佳截面尺寸以及最佳材料性能的组合关系。这通常涉及到优化结构中各个组件的尺寸，例如桁架中的截面尺寸、板的厚度等。尺寸优化的特点包括：

1. 保持形状和拓扑结构不变：尺寸优化的目标是通过调整结构组件的尺寸，而不改变结构的整体形状和拓扑结构。这意味着结构的基本形状和连接方式在优化过程中是固定的。

2. 寻找最佳截面尺寸和材料性能组合：优化的目标是找到结构组件的最佳截面尺寸，以及与这些尺寸相匹配的最佳材料性能。这可以包括优化截面的最优面积，确保结构在给定的约束条件下具有最佳的性能。

3.设计变量容易表达： 在尺寸优化中，设计变量通常是与结构组件的尺寸相关的参数，如截面面积、板的厚度等。这使得设计变量相对容易表达和理解。

4. 成熟的求解理论和方法： 尺寸优化的领域已经有了成熟的理论和方法，因此在实践中可以采用各种优化算法和数学规划方法来求解优化问题。

  尺寸优化通常应用于工程设计的不同阶段，特别是在结构的详细设计阶段，以确保结构在满足性能要求的同时，具有经济高效的尺寸和材料选择。

图3. 形状优化示意图 (a) 原始形状 (b) 形状优化后的最优形状

  形状优化（Shape Optimization）是一种结构优化方法，其主要目标是在保持结构的结构拓扑关系不变的情况下，通过调整设计域的形状和边界，寻找结构的最理想边界和几何形状。在骨架结构中，形状优化可能表现为优化节点的最佳位置，而在实体结构中，形状优化可能涉及对结构的边界形状进行调整。形状优化的关键特点包括：

1. 结构拓扑关系保持不变： 形状优化的一个关键特征是在整个优化过程中，结构的基本拓扑关系是固定的。这意味着连接结构组件的关系、支撑关系等基本结构形式在优化过程中不发生变化。

2. 设计域的形状和边界发生变化： 与尺寸优化不同，形状优化涉及对设计域的形状和边界进行变化，以寻求最优的结构形状。这可能包括调整结构的外形、边界曲线等。

3. 优化节点或边界形状： 在骨架结构中，形状优化可能表现为寻找节点的最佳位置，以改善结构的性能。而在实体结构中，形状优化可能涉及对结构的整体边界形状进行调整，以达到最优设计。

形状优化领域已经取得了较大的研究进展，涉及了不同的数学和计算方法，以解决这类优化问题。这包括对形状灵敏度的计算、形状参数化技术的发展等。形状优化的应用范围包括航空航天、汽车工业、建筑工程等领域。通过调整结构的形状，可以更好地适应不同的工程需求，提高结构的性能和效率。

拓扑优化是结构优化领域中一种高层次的优化方法，其目标是在一个确定的连续区域内寻求结构内部非实体区域位置和数量的最佳配置，以实现结构中构件布局及节点联结方式的最优化。在拓扑优化中，结构的外形和边界可能发生改变，以使结构在满足应力、位移等约束条件的同时，将外载荷传递到结构支撑位置，并使结构的某种性态指标达到最优。拓扑优化的主要特点包括：

图4. 3D打印后的拓扑优化结构@Chinese Journal of Aeronautics

1. 非实体区域配置： 拓扑优化关注的是结构内部的非实体区域，即在设计域内寻找最佳的位置和数量分布，而不涉及具体的材料或实体结构的尺寸。

2. 构件布局及节点联结方式最优化： 拓扑优化涉及结构中构件的布局和节点的联结方式的最优化。这意味着在给定的设计域内，需要找到最佳的结构形式，以满足设计的性能要求。

3. 复杂性： 拓扑优化是结构优化中最为复杂的一类问题。它位于结构的概念设计阶段，其优化结果是后续设计的基础。由于结构拓扑形式具有多样性，拓扑优化的求解难度较大。

  拓扑优化包括刚性构件的拓扑优化和柔性构件的拓扑优化。对于刚性结构，优化目标是设计域产生位移最小或材料最省的结构形式；而对于柔性结构，优化目标是通过部分或全部柔性构件的变形而产生相应位移的拓扑构成形式。

  拓扑优化的思想在历史上早已存在，例如古代赵州桥的设计中就包含了原始的拓扑优化理论，考虑了在一定载荷作用下设计出最简洁、整体刚性最好的桥体结构。

图5. “中国第一古桥”赵州桥

  尺寸优化、形状优化和拓扑优化三者相互补充，构成了结构优化的不同层次。拓扑优化作为更高层次的优化方法，承担了决定性的角色。其复杂性和挑战性在于要求在概念设计阶段确定结构的最佳拓扑形式，这对于后续尺寸和形状优化的成功至关重要。拓扑优化的历史渊源早已存在，而现代科技的发展为其提供了更为先进和精确的方法，推动了结构设计领域的不断创新。

  总体而言，拓扑优化代表了结构设计追求最佳性能和效率的高级阶段，其理论和方法的发展为工程领域提供了更灵活、经济、可持续的结构设计方案，对于推动建筑、航空航天等领域的科技进步具有深远的影响。