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结构函数的数学原理(四)

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结构函数的数学原理(四)    


三、 FOSTER与CAUER RC网络模型之间的转换    

接下来要讨论的网络类型是线性无源的RC单端口网络,设置以下限制条件:  

Zth(ω=0)=Rth,而Zth(ω→∞)=0

对于热阻抗以上条件总是适用的。  
FOSTER—CAUER模型转换:假设FOSTER模型(见图C-1a)中的Ri、Ci值已知。根据方程A7,网络的复阻抗为:  

                 

将上式的各部分通分求和,可以得到两个多项式:  

 

ni、di为实数部分的系数。
首先,从Z(s)中提取一个并行热容,假设s→∞,则热容的导纳可以近似为:  

因此,提取的热容C1=dN/nN-1Y(s)中减去热容的导纳,可以消除sN项:

C4)

其次,从Z*(s)中提取串行热阻,假如s→∞,热阻抗可以近似写为:  

    

Z*(s)中减去热阻R1,可以消除sN-1项:

(C6)

现在,我们再次得到一个类似于方程B2的热阻抗公式,但是分子和分母都少了一项。以此类推可以求出C2、R2等因子,按照以上步骤可以计算出梯形网络的每个因子(如图B-1b)。按照这种方法一直计算下去,直到达到Z=0。  
CAUER—FOSTER模型转换:假设CAUER模型中Ci、Ri的值已知,则网络的复阻抗为:  

上式可由方程C2通过基本转变得到。然后需要计算分母的N个根。si个根是负实数,可求得系统的时间常数RiCi,RiCi=1/│si│.

还要考虑一个实际问题。为了得到良好的结构函数分辨率,应在R(z)函数离散化中分割更多的△z片段。A-9所示的RC阶数可能达到100甚至200个。像这样的FOSTERCAUER模型转换存在数值效应问题。如果△z片段数增加,而对结构函数的分辨率不会产生太大的影响,我们认为这样的片段数是合适的,关于这方面的研究尚未得到行业内太多的关注。

四、仿真的结构函数与模型校准    

以上数学公式和数学推导,都来自JEDEC 51-14标准。JESD 51-14在标准中指出,结构函数是一维散热路径的数学模型,2012年罗亚非博士全球首创《三维热阻理论》,获得 IEEE(国际)最佳青年创新奖。从一维到三维,其模型更接近于实际工程应用,《三维热阻理论》是电子热管理领域的理论又一个里程碑。  
为了从三维模型去认知温度场,罗亚非博士提出了用热模型校准来提升仿真精度,首先导入仿真的结构函数,对热测试实验做瞬态仿真,在仿真环节中,也能得到时间和结温的响应曲线,用该响应曲线也能生成结构函数,再去调整仿真的边界条件去拟合仿真的结构函数和测试的结构函数,从而得到一组等效的边界条件,仿真精度得到了有效提升。  

 

为了提高拟合的效率,当时的Mentor基于仿真软件,开发了自动校准的功能,实际应用效果并不理想。主要是自动校准的模型可信度有待提升,深层次去分析原因,要从如何得到仿真的结构函数说起。仿真的时候,时间步长是每个时间数量级内10个点,这个是罗亚非博士最开始时候人为的设定(当时罗亚非博士是Mentor亚太区技术总监,实际上是负责MicRED全球应用技术的开发),之后没人去变过。但仿真的时间步长及踩点密度变化,会对结构函数造成影响。主要原因是结构函数计算时的内插问题,仿真的时间分辨率比测试的低太多了,只能简单粗暴的内插增加点数,内插的点和实际点肯定是有一定偏差的,而结构函数的计算对偏差很敏感。  
我个人的观点,自动校准的思路一定是大方向,只是目前的自动校准技术尚处于萌芽阶段,在当下的技术积累下,需要结合其他的手段,比如监测点的瞬态温度响应(这需要在采集结温的同时,同频同步采集某一个监测点的温度瞬态响应,也可以转换成结构函数,而这个点的温度的瞬态响应和仿真也能对得上,那么,可以认为,该仿真模型的精度是可以信赖的),或者人工校准的结果等等去使用。  
校准技术是热数字孪生技术的基础,行业并没有相应的标准。而行业应用需求的迫切度很高,校准和自动校准的大面积的应用,从根本上来说,还是需要建立这方面技术的数学模型。而由于三维温度场的复杂性,数学模型的建立,绝非易事。首先需要大量精确的数据,揭示客观世界的真相;其次需要建立标准,让数据之间建立一定的逻辑和联系;第三需要数学家们的努力,从数据到模型,可能有很多难题等待着我们去攻克;最后还得行业的应用验证,通过实践去检验,去迭代,毕竟实践才是检验真理的为唯一标准。  
写到这里,关于结构函数的数学原理的介绍算是结束了。可以预见,应用需求推动技术发展,将来在三维温度场领域,也一定会产生很多新的数学公式和数学推导,逐步形成更先进的行业标准,从而提高整个行业的技术水平,提高资源的利用率,降低技术应用的难度。而这个标准,大概率会在中国产生。

(完)  

参考标准:JESD 51-14

来源:今昔CAE随笔
电子理论数字孪生
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首次发布时间:2024-01-13
最近编辑:9月前
今昔CAE随笔
本科 | 销售总监 allenchousf
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