Abaqus中的Ramp与Instantaneous加载与最小势能原理

寒江雪_123

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众所周知，在通用有限元软件中，静力step下默认的加载方式为Ramp加载。当定义一个静力-通用的step时，施加荷载时软件界面会自动显示加载为Ramp加载，如下图所示：

顾名思义，Ramp加载表明，外荷载是以一种“斜坡”的形式施加到结构上的，具体来说，荷载是随着增量时间逐渐增大的，当然对于static分析来说，这里的时间实际上并不等同于真实世界的时间，而更多地是表征“增量步”。

以以下模型为例：

在该结构上施加1e6单位的力，step时间为1s，分为10个增量步加载，每个增量步时间为0.1s。

采用Free body cut输出整个结构的截面内力如下：

以上，即是Ramp加载，非常简单。

不过，实际上，在abaqus中并非所有的step类型默认都采用Ramp加载，比如如果Step选择Dynamic类型，则默认的加载会变为Instantaneous，这表明，荷载是“瞬时”加到结构上的，当然，由于是Dynamic step，此时的时间是真实的时间。

实际上，对于不同类型的Step，除了默认方式外，我们也可以自行选择加载的方式，一种方式是通过定义Amplitude，非常常见，我们在这里不展开；另一种稍微少见一些的方式是在step定义时进行修改。

例如，对于上面的静力step类型的模型，可以将Default load variation with time改为Instantaneous。在这种方式下，即使是静力step，abaqus会在第一个增量步直接将整个荷载加到结构上，修改后Free body cut输出的截面内力如下所示：

以上，即是在abaqus中关于加载模式的一些基础内容。在有限元理论上与之有一些联系的，是有限元刚度矩阵推导时的最小势能原理

在有限元理论中，刚度矩阵常用虚位移原理或者最小势能原理推导。当采用虚位移原理时，具体表达式如下：

上式第一项是单元中的应力和应变形成的内力虚功，后三项的是外荷载虚功。

而如果采用最小势能原理，势能表达式为：

这里有两个区别：第一个明显的区别就是虚位移原理是虚功和为0，而势能表达式需要进一步取变分，变分为0从而求得具体值；第二个是当计算内力虚功时，表达式没有前面的1/2，而计算最小势能原理时，表达式前面有1/2。这个原因就在于，在真实的牛顿第二定律体系下，假设结构在外荷载（静力）作用下应力是 ，为了保证“静力”，外荷载应当是 “缓慢而逐渐增大”地施加到结构上的，就如同之前所描述的Ramp加载，因此对于整个“加载过程”来说，应力并不是一直保持 的，而是随着“时间增量”慢慢地逐步增大到该值，不难想到，此时结构的应变能必然会有1/2的系数。反之，如果真实世界中应力在加载过程中像Instantaneous一样，在很短的时间内就增大到并一直保持，此时的引起的结构响应将不会是“静力”，而必然包含了快速加载带来的惯性效应，当然在abaqus中的静力step下不会，因为静力step的时间并非真实的时间，静力step不考虑惯性效应。

当采用虚功原理时，实际上此时的虚位移，并非直接结构在荷载下的真实的位移，而是表明在结构所受该荷载的平衡状态下，发生任意的虚位移，外力虚功与内力虚功的合虚功为0，这里的虚功并不等于真实的能量。

以上，即是abaqus中Ramp与Instantaneous加载模式与有限元理论中最小势能原理的一些关联，感谢您的阅读！

来源：有限元术