结构函数的数学原理（二）
结构函数的数学原理（二）
图A-7a显示了Rthi-τi对，代表有限阶模型网络。在实际器件和封装的物理结构中，热阻与热容不可分割。任何极小的物体都具有阻性和容性。热容随着材料的热阻而分布；这就是分布式参数网络[A3]。 
这种分布式结构可近似为一个具有精细网格的模型网络。将该结构划分为许多个基本单元格，每个单元格的子网络由它自身的热容与相邻单元格间的热阻组成，如图A-8所示（由于实际原因只能以二维显示）。划分的单元格越密集就越接近实际的分布式结构。 这个网络模型包含了大量的时间常数和累积的热容。图A-7a中包含大量的线条，这些线条可以组成连续的时间常数谱如图A-7b所示。 通常，有限长的分布式结构（例如一块给定材料的平板）有无限个离散的时间常数，而无限长的结构（例如从IC芯片至外环境的传热路径）由连续的常数谱组成。 为了准确表达时间常数谱的定义，首先引入一个对数时间坐标： 
方程A5及图A-7b中直观表示的时间常数谱，方程A9通过方程A8进行变量转换，给出了它在对数坐标下的标准定义式。其他的数据处理也是基于这一转换（例如图A-9）。t和z分别表示线性时间和对数时间，希腊字母τ和ζ分别表示对应的时间常数。 假如复阻抗Z(s)已知，通过下式可以计算时间常数谱[A2]： 
仿真可以提供精确的Z(s)函数。通过这种方法可以直接得到R(z)谱，从模拟结构中能够产生结构函数和等效的物理模型。由于s的负实轴可能存在极点，运用此方程时需采取措施预防极点。时间常数谱R(z) 确定后很容易画出“热流图”（描述沿热流路径分布的热阻与热容的函数）。 这个时间常数谱可认为是分布式热阻网络FOSTER RC模型的扩展，图A-9所示为集总元件的FOSTER模型结构。为了建立集总元件模型，将R(z)划分成若干个长度为Δz的片段。每个Δz片段对应于一个并联的RC(RthCth)热流路径，
及
Δz越小，Rth-Cth阶数越多，得到的模型就越精确。假如，这个函数就转换为具有无限个相连Rth-Cth阶的FOSTER模型。时间常数谱是连续情况下的FOSTER模型。离散的时间常数谱可以生成FOSTER网络。 
虽然FOSTER网络这一数学模型能够正确地表述器件的瞬态行为，但由于它包含的是节至节的热容，它不能描述热结构的特性。实际的热容总是连接到系统的基准点（该点保持恒定的指定温度）——类似于电气“接地”——因为存储的热能与一个节点的温度成比例，而不是FOSTER模型中所给的两个节点的温度差。适合热结构特性的RC模型是CAUER网络。假如FOSTER模型已知，CAUER网络模型可以通过FOSTER-CAUER转换计算得到。 A.5.1 积分结构函数（Protonotarios-Wing函数） 早在PROTONOTARIOS和WING文章中就引入了一个函数，这个函数更适合描述非均匀分布的一维RC结构。此函数将积分热容CΘ∑转换为积分热阻RΘ∑的函数。
cv是单位热容，λ是热导率，A(x)是横截面积。曲线的驱动点通常在x=0处，其优势在于更符合器件的真实情况。CΘ∑(RΘ∑)称为积分结构函数或Protonotarios-Wing函数。假如将分布式RC结构沿着x轴分成若干个Δx，每个Δx等效为一个串行热阻与一个并行热容，进而可以得到一个很长的阶梯式CAUER模型。假设Δx→0，CAUER网络的阶数趋于无穷。积分结构函数直接定义了图A-8所示的无限阶CAUER网络。 换句话说：积分结构函数是连续情况下的CAUER模型。离散的积分结构函数可以生成CAUER网络。 
首先要回答下面的问题：怎样得到积分结构函数？一种近似方法可以满足实际应用。如图A-9所示，集总元件FOSTER模型能从R(z)谱中获得(后续会描述了怎样从Zth曲线获得时间常数谱)。通过 FOSTER—CAUER转换，FOSTER模型可转换为阶梯式CAUER模型。如图A-10所示，这个阶梯模型是积分结构函数的离散近似。 半导体封装器件的积分热容幅值变化很大，因此积分结构函数通常以线性—对数坐标表示，如图A-10所示。 结构函数是一个宝贝，可惜由于其测量的复杂性及测量仪器的昂贵，工业领域并没有大面积的应用。测试仪器昂贵，可还是实验室设备，还达不到工业等级，对工程师要求较高。随着热模型的应用及标准化，结合AI，结构函数的测试将会变得容易，数据的物理意义会明确清晰，这必然会推动结构函数在工业领域的大面积应用，从而可以大幅降低设备的成本。 参考标准：JEDECStandard No. 51-14
参考文献：PROTONOTARIOS E WING O. Theory of Nonuniform RC Lines[J]. IEEE Trans 1967 14(1): 2-12.
（未完待续）
结构函数的数学原理（一）
关于JESD 51-14标准的理解和说明
