结构函数的数学原理（一）

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结构函数的数学原理（一）

一、时间常数谱和积分结构函数的定义

A.1前言

2023年12月29日，对于鲁欧智造是一个值得纪念的日子——鲁欧智造完成数千万A轮融资，引入的两家基金分别是中国本土创投机构第一名——深创投，及2023年最佳早期投资机构第一名——中科创星，用于新产线和实验室建设、扩建团队、启动热数字孪生业务，鲁欧智造进入了发展的快车道。

在过去的十多年里，电子散热技术领域对半导体散热路径的瞬态热特性引入了一个新的表述：结构函数。而作为高新技术企业，鲁欧智造专注于半导体瞬态热测试技术，研发和生产可精确测量半导体散热路径结构函数的特种设备。而两大头部的基金，对于鲁欧的投入，也基于鲁欧智造完全自主掌控该项核心技术，并在诸多设备参数和指标上，实现了对国际竞争对手的超越。

结构函数的定义：特定热源，在某个特定的散热材料内，所形成的散热路径的一维表征。请注意，由于热在导体内是高斯分布，所以，散热材料不等于散热路径。

本文主要作用是从数学原理上准确理解结构函数，并解读工程师应用JESD 51-14标准的边界条件，及热数字孪生技术的探索。

由于结构函数与RC网络理论及其含义密切相关，因此引进时间常数概念，“canonic”代表RC网络单端口，在结构函数中代表时间常数谱。这里定义的RC网络具有以下特征：

1.网络是线性和无源的；

2.热源为单一，并且可测量；

3.假定热流是一维的。

条件说明如下：

线性意味着热阻与热容与温度及功率等边界条件无关。换句话说：热导率和热容都是与温度无关的常数。准确地说，这个理论条件实际上并不成立，实际问题是基于一定允许误差范围内的合理近似。

热源的意思是对结构中同一位置加热并测量它的温度响应。

一维热流：除了纵向热流外，还包括更复杂的热扩散，这些热扩散通过一些坐标系变换可等效为迪卡尔坐标系中的纵向热流。这包括圆盘结构中的径向扩散，如功率LED的MCPCB或JEDEC测试板，圆柱形热扩散或锥形热扩散。半导体器件封装通常多种材料依次连接在一起，并具有如上描述的散热特性，其热流路径可认为是一维的。

现在的热测试的样品的几何（比如功率MosFET，HPD封装的IGBT）一般都不是中心对称的，当我们把其散热路径近似为一维路径时，要考虑几何，功率及散热条件对散热路径的影响。

A.2 热时间常数的概念

为了更好的理解时间常数概念，我们来看一个例子，假设一个小正立方体，四周绝热，将它和一个理想的热沉相接触。在其另一侧表面施加一个单位的功率并均匀地分布在表面上，如图A-1左图所示。这个简单的热模型就是一个一阶RC网络模型，如图A-1右图所示。这可以看作一个简单的半导体封装器件的近似热模型。

在最简单的封装热模型中，含有一个热阻和一个热容。这两个因素是并联连接，如图A-2所示。假如给这个模型施加PH的功率，温度将以指数形式上升：

式A2为模型的时间常数。

这个模型由时间常数及R_th值来描述其大小，如图A-3所示：

器件的物理结构通常是复杂的，并且具有多个时间常数。因此，以指数函数之和表示器件的温度响应会更精确：

n对R_thi-τ_i的值可表征器件的结构。将这些数据与网络模型相联系，如图A-4所示。每对R_thi-C_thi（C_thi=τ_i/R_thi）对应方程A3中的一组。这一网络模型结构是FOSTER网络的标准形式。

R_th-τ_i值可用图形表示，如图A-5所示。线条的横坐标值代表时间常数，纵坐标值代表R_th的大小。下图可视为一个离散频谱，该谱给出了网络的响应时间常数和对应的幅值。

这可能使人误以为FOSTER网络模型中的热阻、热容对应于实际的不同物理结构。但FOSTER网络模型包含节点至节点的热容，它没有物理意义，与实际的物理结构不相符。RC单端口网络存在一个等效的模型—CAUER网络。CAUER模型是一个梯形网络，如图A-6所示，这一模型的网络单元能与物理区域很好地对应起来。CAUER模型是结构函数分析热流路径的基础。