揭秘多相流经典问题：圆球绕流的奇妙理论解

圆球绕流是指当流体通过静止的圆球时，流体围绕球体形成的流动，这种流动现象被称为绕流。研究圆球绕流有助于更好理解流体动力学中的一些基本现象，如涡旋的产生、流体速度分布等。在工程技术领域，圆球绕流的研究也有助于优化物体在流体中的运动性能，如船舶设计、航空航天器设计等。

作为一种经典的流体力学问题，圆球绕流对于多相流体力学的研究具有重要意义。多相流体力学是研究两种或多种不同相态的流体在相互作用下流动的学科，而圆球绕流可以视为其中的一种特殊情况。

在多相流体力学中，不同相态的流体之间可能存在复杂的相互作用和流动特性。例如，在气液两相流、空泡动力学、颗粒流体两相流动中，气体和液体之间或颗粒相与流体相之间可能存在密度差、粘度差等差异，这些差异会对流动产生影响。类似地，在圆球绕流中，球体表面的流体与周围的流体之间也存在相互作用和流动特性。通过对圆球绕流的研究，可以深入了解这种相互作用和流动特性，为多相流体力学的研究提供参考和借鉴。

此外，圆球绕流的研究还可以为多相流体力学中的一些基本问题提供启示。例如，在多相流体力学中，界面张力、表面粗糙度等因素会对流动产生重要影响。通过对圆球绕流中界面张力、表面粗糙度等问题的研究，可以进一步了解这些因素对多相流体力学的影响机制和规律。研究圆球绕流对多相流体力学具有重要的意义，可以为多相流体力学的理论和应用提供支持和借鉴。

本文将从高雷诺数情况、低雷诺数情况及分子效应三个方面对圆球绕流现象及其中蕴含的流体力学基本控制方程与理论解进行系统阐述。

对于绕颗粒状球体的稳态流动：dU_i/dt=dV_i/dt=dW_i/dt=0，我们可以便捷地使用固定在颗粒上的坐标系x_i以及极坐标(r, θ)和速度矢量u_r，u_θ，对圆球绕流问题做深入分析，如下图所定义：

图1 球状颗粒参考系

首先引入连续性方程(1)与 Navier-Stokes 方程(2)：

则此时，连续性方程(1)和 Navier-Stokes 方程(2)演变为极坐标形式：

在势流理论中，Stokes流函数ψ被定义为自动满足连续性：  

此时，无粘性势流解为：  

其中，由于边界条件(u_r)_r=R=0，因此得出D=−WR³/2。在势流中，还可以定义速度势，φ，使得 u_i=∂φ/∂x_i 。这个解的经典问题是阻力为零，也被称为达朗贝尔悖论。这种解对应的流动是关于通过原点的x₂x₃平面对称的，并且没有尾流。

但真实的大雷诺数下绕球体粘性流动过程在学界其实早已有很好的记录，     （Re=2W R/ν_C>1  ，在约10³至3×10⁵的范围内），此时层流边界层分离发生在 θ≈84 ^◦ 位置，流动在球体后方形成一个较大的尾流，如下图所示。从图中可以看到，靠近球体的“近尾流”为层流；但继续往下游流动时，发生在剪切层中的湍流转捩和过渡不断扩散产生湍流“远尾流“。

随着雷诺数的增加，剪切层的过渡向前移动，直到湍流剪切层突然重新附着到物体上，导致分离的最终位置发生重大变化(θ≈120^◦)并以湍流尾流的形式出现，如下图所示。

图2 通过烟雾可视化显示地理想稳态圆柱绕流（从左到右）

左图显示雷诺数Re=2.8×10⁵时的层流分离现象，右图显示雷诺数Re=3.9×10⁵时的湍流分离现象。照片由NotreDame大学F.N.M.Brown拍摄。

伴随着流动模式急剧变化而急剧下降的无量纲系数是阻力系数C_D（定义为物体在负x₁方向上的阻力除以1/2ρ_CW²πR² ），其从层流分离状态下大约为0.5骤降到湍流分离状态下约为0.2，如下图所示。当Re值小于约10³时，流动变得非常不稳定，圆球绕流中的旋涡发生周期性脱落。

图3 圆柱绕流中，球体阻力系数随雷诺数的变化情况

图中虚线曲线表示阻力临界状态，在这种状态下，阻力对自由流湍流等其他因素非常敏感。

低雷诺数情况  

雷诺数较低的情况是绕球体流动的经典斯托克斯解。在这种情况下，方程(2)左侧的项被忽略，粘性项被保留。这是解析解的形式为：      

 

其中A和B是根据球体表面上的边界条件确定的常数。小球颗粒在x₁方向上所受到的力F₁为：      

 

基于以上分析，该解析解分别在以下几种情况下的应用结果是让学界和工业界最为感兴趣的。

第一种是固体球体的经典Stokes（1851）解，其中应用了无滑移边界条件 (u_θ)_r=R=0（包括运动学边界条件（固壁不可穿透）(u_r)_r=R=0）。这组边界条件，被称为Stokes边界条件，基于Stokes边界条件，可以有：  

 

第二种情况源自Hadamard（1911）和Rybczynski（1911），他们提出，在颗粒球体为气泡的情况下，在球面上采用零剪切应力的条件比采用零切向速度u_θ的条件更合适，随后就可以推导得到：      

 

根据气泡表面的污染程度，真实气泡可能符合Stokes或Hadamard-Rybczynski溶液，这里不再做过多赘述。最后，值得注意的是，方程(7)至(10)中给出的势流解也必须要满足：      

 

然而，当考虑这些Stokes流的解析解在小雷诺数（而不是零雷诺数）下的有效性时，就会出现另一个悖论，即Whitehead悖论。Whitehead悖论的本质其实可以通过检查Navier-Stokes方程中被忽略项u_j∂u_i/∂x_j 相对于保留项 ν_C∂²u_i/∂x_i∂x_j 的大小来证明。从方程(11)中可以明显看出，在远离球体的地方，前者与W²R/r²成比例，而后者则类似于ν_CW R/r ³。  
 

因此，尽管保留项将在靠近物体处占主导地位（假设雷诺数Re=2W R/ν_C<<1），但始终存在由等式 R/r_c=Re 给出的径向位置r_c。当超过该位置，忽略项对流场的影响将超过保留的粘性项。因此，即使Re<<1，Stokes解也不是在全流场都有效的。

认识到解析解在这方面体现的局限性，Oseen(1910)试图通过在基本方程中保留在远场−W∂u_i/∂x₁ 中有效的u_j∂u_i/∂x_j 的近似值来校正Stokes解。因此在这种情况下，Navier-Stokes方程可近似表达为  

 

Oseen找到了该方程的闭合形式的解析解，该解析解近似满足Stokes边界条件：  

 

从而在颗粒圆球表面产生阻力      

 

很容易看出，方程(19)在Re→0时可以退化简化为方程(11)。但是需要指出的是：由于目前尚不清楚Hadamard-Rybczynski边界条件的相应解，所以其有效性将更加令人质疑。主要原因是因为Hadamard-Rybczynski边界条件与斯托克斯边界条件的情况不同，其惯性项u_j∂u_i/∂x_j 在气泡表面上不完全为零。  

Proudman和Pearson（1957）以及Kaplun和Lagerstrom（1957）证明，Oseen的解实际上是当使用匹配渐近展开法试图将全Navier-Stokes方程的一致渐近解拼接在近场和远场时获得的第一项。他们还获得了阻力表达式中的下一项，如下式所示：  

 

根据上式可以发现在Re=0.3时，附加项会导致1%的误差，因此，其实在实际应用过程中是具有很多实际意义的。

Oseen解析解最显著的特点是流线的几何形状取决于雷诺数。下游流动不是斯托克斯或势流解析解中上游流动的镜像。事实上，如果仔细审视Oseen解，我们可以发现，在球体的下游，流线之间的距离相距会更远，流动速度比相同的上游位置处更慢。此外，这种效应随着雷诺数的增加而增加。Oseen解的这些特征与实验观测完全一致，一定程度上揭示了圆球后尾流的初步发展规律。

尽管目前已经有许多的数值解供参考，但是对于雷诺数在0.5到几千之间的圆球绕流已被证明是解析法难以解决的问题。实验发现，在Re=30附近的后部滞流点附近形成了再循环区（或涡流环）（Taneda1956， 见下图）。随着雷诺数的进一步增加，该回流区或尾流会扩大。

如果我们通过与前滞点之间的角度来定义表面上的位置，那么当Re=100变化为Re=300时，分离点的位置会从约130°向前移动到约115°。在此过程中，当Re≈130时，尾流达到与球体直径相当的直径。此时，流动变得不稳定，构成尾流的环形涡流开始振荡（Taneda1956）。随后随着Re继续增大，其将继续附着在球体上，直到Re=500左右（Torobin和Gauvin1959）。

在雷诺数高于约500时，涡旋开始脱落并向下对流。与圆筒的情况相比，涡旋脱落的频率尚未得到广泛研究，似乎更多地与雷诺数有关。根据传统的斯特劳哈尔数（Str），斯特劳哈尔数定义为：  

 

Moller（1938）观察到的涡流脱落频率f对应于Str的范围，从Re=1000时的0.3到Re=5000时的约1.8。此外，随着Re增加到500以上，流动在由于涡脱落形成的非定常和湍流愈发剧烈的“远尾流“区域上游形成相对更为稳定的”近尾流“区域。该过程一直持续到Re值约为1000，球体周围和”近尾流“区域的流动再次变得相当稳定。球体前部形成了一个可识别的边界层，分离点位于前滞点约84°的位置。自由剪切层（定义了”近尾流“区域的边界）过渡到湍流，随着雷诺数的增加，自由剪切层逐渐向前移动。流动类似于本文第二幅图中的左图。随着雷诺数的进一步增加，上文中描述的流动模式的变化便发生了。
 

由于雷诺数范围在0.5到几百之间，通常适用于多相流，因此必须采用经验公式来计算该状态下的阻力。在多相流学科的发展过程中，出现了许多经验结果可供使用；例如，Klyachko(1934)提出如下经验解：  

 

上解与Re≈1000的数据相当吻合。在Re=1时，大括号内值为1.167，而方程(20)中的相同因子为1.187。但是当Re=1000时，这两个因子分别为17.7和188.5，相去甚远。      

 

 

图4 在不同雷诺数下圆球绕流的稳态流动流线(Taneda1956)      

分子效应    

当周围流体中分子的平均自由程λ与圆球颗粒的大小相当时，流动将明显偏离连续模型，只有在λ<<R时才相关。Knudsen数Kn=λ/2R用于表征这些情况，Cunningham(1910)表明，对于球形颗粒，小且有限的Knudsen数的一阶修正会在斯托克斯阻力中导出一个额外的因子（1+2AKn）。数值因子A大约是一个单位阶常数（例如，参见Green和Lane1964）。

当单个流体分子与颗粒碰撞产生的冲量足够大，导致颗粒速度发生显著变化时，颗粒的随机运动称为布朗运动（Einstein，1956），这也是导致悬浮在流体中的固体颗粒扩散的原因。爱因斯坦表明，该过程的扩散系数D由下式给出  

 

其中k是玻尔兹曼常数。因此，颗粒在时间t内的典型均方根位移由(kTt/3πμ_CR)^1/2给出。布朗运动通常仅对微米级和亚微米级粒子有意义。爱因斯坦引用的例子是1μm直径的粒子在17℃的水中，其在一秒内的典型位移为0.8μm。

第三个相关现象是流体中存在显著温度梯度时，颗粒对分子碰撞的响应现象。由于颗粒的热侧分子碰撞对粒子施加的脉冲将大于冷侧的脉冲，因此，颗粒将受到一个净力，使其向较冷流体的方向运动。这种现象被称为热泳（Davies1966）。当颗粒受到非均匀辐射时，会出现类似的光泳现象。当然也包括Bjerknes力等，Bjerknes力主要为气泡在声波中受到的力，即在声场中作用于圆球的力，也是声泳现象的成因。  

 翻译自《Brennen CE. Fundamentals of Multiphase Flow.Cambridge:Cambridge University Press; 2005. 》