差 分 不？

作者｜李银山（河北工业大学 机械工程学院 工程力学系，天津300401）

            兰鑫（哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨150001）

 

摘要：

提出了一种解决杆件结构弯曲变形问题的创新算法—连续分段独立一体化积分法。此算法是材料力学与计算机编程有机结合的一种快速解析法。本系列讲座通过材料力学与计算机编程的有机结合，对材料力学的教学方法进行有效改革, 强化对学生的能力培养, 收到了较好的效果。传统算法和现代算法并重，学习传统算法便于理解材料力学基本原理，采用现代算法可以快速，准确解决工程问题，提高效率。

关键词：创新算法，Maple,有限差分法，变截面，挠度

 

第十三讲   

第十三讲 有限差分法与

连续分段独立一体化积分法

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

梁的弯曲内力和弯曲变形是材料力学中两大教学重点和难点，是解决梁的弯曲强度和刚度问题的基础，也为解弯曲超静定问题等所必须。有限差分法（Finite difference Method，FDM）)是结构分析的一种实用而有效的数值计算方法^[1]。有限差分法求解梁弯曲变形问题的基本思想是把梁进行分段，将求解微分方程的问题转变为求解代数方程组问题。杨荣光(1985) ^[2]研究了用有限差分法求变截面梁弯曲变形的简化解法。陈楚琳等(1989) ^[3] 研究了连续梁的有限差分解。王维等(1990) ^[4]对梁的刚度及弯矩突变时进行了差分处理。陈楚琳等(1991) ^[5，6] 分别用有限差分法求解了梁特定点的变形和简单超静定变截面梁。黎明安等(1992) ^[7]研究了非均质变截面弹性直杆纵向自由振动的差分解法。王其申等(1996) ^[8] 讨论了杆、梁差分离散系统的柔度矩阵及其极限。钱波等(2011) ^[9]用有限差分法进行了变截面梁横向振动固有频率数值计算。孙秀荣等(2021) ^[10] 用有限差分法对考虑分布轴向力的细长杆横向振动与失稳进行了分析。

有限差分法具有广泛的应用和强大的数值计算与仿真功能，但是此方法只能得到变截面梁的数值解，不能得到变截面梁的解析解^[1~10]。随着人工智能和专家系统技术的不断发展，代表人工智能技术在数学领域的应用典范——计算机代数系统，伴随着计算机技术的不断发展而迅速崛起。Maple、Mathematica、Matlab、MathCAD等都是非常实用高效计算机代数系统，具有很强的符号运算、数值计算、图形、编程等功能，和友好方便的人机交互界面，其应用遍布科学研究，工程应用和辅助教学等^[11~22]。用连续分段独立一体化积分法和计算机编程相结合求解变截面梁的弯曲变形问题就可以得到解析解。

下一讲预告：

第14讲：单位载荷法与连续分段独立一体化积分法。

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