对“应力是不是矢量？”的热烈讨论！

对“应力是不是矢量？”的热烈讨论

整理人：王学滨

主要是陈津民先生和徐嘉谟先生对“应力是不是矢量？”这一问题展开了热烈、长时间的争论。有时，还有浓烈的火药味。期间、水墨丹青（姓名不详）、沈新普教授、陈奎孚教授、刘建林教授和本人等也偶尔参与。应力这一概念至少对力学人来说几乎最为重要。本人认为，完全可以从不同角度进行理解，这非常有助于对这一看似简单的概念的深入认识，有助于让人感受到力学的博大精深和无与伦比之美。本人深感到这一讨论很有意义，不能让其躺在微 信群中最终消失在历史的长河中，故对此进行了简单的整理，并征得了上述各位的同意，将其发布在“诗话计算力学和玛瑙”微 信公 众号上。

陈津民先生认为，应力和矢量有相同的部分，也有不同的部分。相同部分是两者都有大小和方向；不相同部分有3点：

a、矢量单方向（矢量只有一个角标，表示一个方向），应力双方向（即双向性，应力有两个方向，一个是内力本身的方向，另一个是截面的外法向，所以应力分量有两个角标，分别表示二个方向）；

b、矢是点位，应力是面位；

c、矢量是单矢，应力虽也用单矢表示，实质是矢系。所以不能把应力简单地说成是矢量。

显然，这一认识已经超越了一些或许多教科书的认识。为此，徐嘉谟先生等以引证国内外教材、百度和自己的理解对此表达了不同的意见。例如，徐嘉谟先生说，应力与应力状态是不同的量，是不同的概念；应力是集度，集度是矢量，所以，应力是矢量。对此，本人也表达了“应力矢量这一概念出现在应力状态、应力分量、主应力之前。”等附和徐嘉谟先生的观点。

刘建林教授说，“应力是不是张量”中定义的应力stress，实际上是“全应力”，即full stress，是一个矢量。这个矢量作用在选取的微元面上，可以进一步分解为法向和切向两个分量，即“正应力”（沿着法向）和“切应力”（沿着切向）。

陈奎孚教授说，矢量、向量的英文是vector。它是有大小、方向，符合平行四边形法则的数学量。应力矢量、速度矢量加上修饰词后变成物理量。

水墨丹青说，应力矢量是在外力作用下产生的。如果选取一个坐标系，可以在其中一个坐标面上将应力矢量分解为沿三个坐标轴方向的分量。其中，与坐标面垂直的分量称为正应力，另外两个称为剪应力。所以，正应力和剪应力是应力矢量的分量。为了全面反映受力物体内部的应力状态并进行定量计算，需要考虑应力矢量在三个坐标面内的应力分量，这样就产生9个应力分量，从而组成应力张量。

沈新普教授说，三维空间中的应力是二阶张量，有三个主应力分量。每个主应力是矢量。平时大家说话一般不那么较真。

水墨丹青说，正应力和剪应力是应力矢量的分量。而且，没有全应力之说。一个物理量可以有多种表达方式，有些是指特定情况。例如，我们常用的弹性参数与泊松比，通常认为是标量。但实际上仅仅是对于各向同性线弹性材料本构关系的两个独立参数。而对于一般的各向异性材料，本构关系的刚度系数是一个四阶张量，共有81个分量。如果笼统讨论材料参数是标量还是张量，实在没什么意义。关于讨论应力是矢量还是张量，也是同样的道理。或者说，应力归为矢量和归为张量都是正确的。

本人说，全应力称之为总应力似乎也可以。

另外，陈津民先生还认为，对于下图的受到双向等应力拉伸的微元体，不能简化成单向拉伸状态。他解释如下。对于双向等拉，由于应力不是矢量，我们可以画一个应力圆。应力圆上是一个点，即方向怎么变都是双向等拉。如果破坏，裂面不确定。如果认为应力是矢量，就可以合成，若Tyy上和Txx右合成，则变成45度方向的单向拉伸，裂面能确定。若Tyy上和Txx左合成，则变成负45度方向的单向拉伸，裂面也能确定。显然，若认为应力为矢量，会得到错误结果。

注：陈津民先生手绘，手一点也不抖

在本人看来，陈津民先生的观点有一定道理，即如此合成之后应力圆发生了改变。但是，这不代表平面微元体的一个面上的两个应力合起来不是一个矢量，不代表应力不是矢量。只是，将作用在两个面（有一个交点）上的两个力合成不妥，它们不作用于一个点上。平时，对于上述两个应力，只说应力，连分量都不说。

在本材料整理过程中，陈津民先生又有两段话如下：

关于应力（张量）、矢量和标量。从结绳记事开始，人们使用算术量，后加入正负号，变成代数量。算术量和代数量统称标量，也就是有大小的量称为标量。后来发现有些量不光有大小，还有方向，于是进一步有了矢量（向量）的定义：有大小和方向的量（无点位之说）称为矢量。标量定义为旧，矢量定义为新。矢量定义更进步，新定义管旧定义。我们不能说矢量符合标量定义，就说矢量是标量。这时，应该修改标量定义，即只有（只有是增加的限制条件）大小的量称为标量。这样，矢量就不满足标量的定义，不会发生矢量是标量的错误。

后来出现应力，发现矢量不够用，于是出现张量。有大小、且和二个方向有关的量（坐标旋转时满足张量关系式）称为张量。这时，应力肯定满足矢量定义，这是多数人认定应力是矢量的原因。矢量定义是旧，张量定义是新。新的更进步。这时，发现矢量定义不完美，和标量一样，需要修正，即有大小和单个方向有关的量称为矢量。这样，矢量定义就不包括应力了。标量条件最少，矢量条件居中，应力条件更多。如果应力限定了截面外法向，就退化为矢量（或矢量系）。如果矢量限定了方向，就退化为标量。应力退化为矢量千万别忘了限定截面法向的条件。

本人认为，讨论问题很必要，无论是谁都应该和气。陈津民先生以前连院士都敢怼，今年81了，思维还很敏捷，辩论时就像不服输的战士一样，这充分说明了思考力学长寿！本人对他的热衷学术讨论和不信书本的怀疑精神表示由衷的敬意！

说明：对于一些不通顺之处，本人已经进行了文字上的少许修改。