简单聊聊：梁是如何发生共振的
梁是一种结构，通常用于支撑建筑物或其他结构。梁可以是木材、钢铁、混凝土或其他材料制成，具有抗弯和抗压的特性。在建筑设计中，梁常常被用来分担和传递重量，以确保建筑物的稳定性和结构强度。
梁是一类比较经典的结构，今天就聊一下梁的受迫振动（含共振）。在对梁施加载荷之前，我们先对一个悬臂梁进行模态分析，得到梁的前六阶固有频率；然后在悬臂梁的自由端施加一个简谐激励，力的频率就取梁的第一阶固有频率。
梁的各项参数为：
| 变量 | 数值 |
|---|---|
| L（梁长度） | 1 m |
| E（弹性模量） | 2E11 Pa |
| r（圆截面半径） | 0.1 m |
| （梁的密度） | 7850Kg/m |
根据之前的文章，我们能轻松得到梁的前六阶频率（梁频率的计算方法）：
自由端受到外部激励的形式为：
力为单位力， 为激励的频率，频率可以根据需要进行指定，激励的时间长度为1s。
课堂上，老师会告诉我们，外部激励的频率如果与结构的固有频率一致，则会对结构造成伤害，那我们不妨以梁的第一阶频率为研究对象，对梁进行分析。
首先，我们先令外部激励的频率 为70Hz，这个频率与梁的第一阶频率非常接近，力的幅值为1N，简谐激励作用在梁的自由端。我们比较关心的是，在这种激励下，梁自由端的振动形式是如何的。
好的，我们可以非常直观地得到外部激励在0~1s内的作用形式，具体如下图：
这次，我们对梁进行动力学分析，即，在外部简谐激励作用下，梁自由端的位移与时间的关系。
上图中，自由端的振幅越来越大，说明在外部激励的作用下，由于外部激励的频率与梁的固有频率一致，导致梁发生了共振。这直观地反映了，一旦激励的频率与结构的固有频率接近或者一致，那么结构就会发生共振。而共振对结构是致命的，如果不及时制止外部激励，随着时间的推移，结构会造成破坏，进而造成人身伤害和经济损失。
除此之外，我还想关注一下外部激励的频率为第一阶频率的 (即35Hz)与第一阶频率的2倍(即140Hz)时，自由端的位移是如何变化的。
首先，先将频率变为35Hz，我们先观察一下外部激励与时间的关系。
在上述激励的作用下，我们可以得到自由端的位移随时间的变化，如下图：
当外部激励的频率变为35Hz后，我们能得到梁的稳态数值解。在外部简谐激励下，梁能够以一定的频率，稳定振动。
我们将外部激励的频率改为140Hz，幅值保持不变，重新进行计算。外部激励的作用形式如下：
当然，我们也可以得到梁自由端位移随时间的关系，同样具有周期性。
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