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实体单元弯矩计算（一）——梁与桩

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11月前浏览8514

摘要：本文介绍了一种基于纯弯曲梁正应力计算公式的梁、桩实体弯矩计算方法。

1. 计算原理

根据孙训方教授所著《材料力学（Ⅰ）》第4.4节“梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件”可知，等直梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式为：

式中：M为横截面上的弯矩；Iz为横截面对中性轴z的惯性矩；y为所求应力点的纵坐标。

上式给出了弯矩和正应力之间的关系式，由此可以通过应力求出弯矩。对于一个截面尺寸为b×h的等直纯弯梁（见图1）：

图1 等直纯弯梁示意图

其在上、下表面所受应力值即为：

联立两式可得：

2.案例计算

建立一个长度为10m的悬臂梁，梁上施加大小为5e5N/m的均布荷载，代码如下

model new
fish def _Parameters    b = 0.6 ;width    h = 0.9 ;height    L = 10.0 ;length    E = 3e10 ;young    v = 0.22 ;poisson ratio    q = -5e5    xsize = 50    ysize = 3    zsize = 9end@_Parameters
zone create brick point 0(0,[-0.5*b],[-0.5*h]) point 1([L/2.0],[-0.5*b],[-0.5*h]) point 2(0,0,[-0.5*h]) point 3(0,[-0.5*b],[0.5*h]) size @xsize @ysize @zsize zone reflect normal (0 1 0) origin (0,[-0.5*b],[-0.5*h]) zone reflect normal (1,0,0) origin ([L/2.0],[-0.5*b],[-0.5*h])

zone cmodel assign elasticzone property young @E poisson @v
zone gridpoint fix velocity (0,0,0) range position-x -0.01 0.01
zone face apply stress-zz [q/b] range position-z 0.449 0.451
model solve

利用以下代码求取梁挠度的理论值，计算公式依据孙训方教授所著《材料力学（Ⅰ）》（第四版）。

table 1 label 'AnalyticalDisp'fish def _AnalyticalDisp    b = 0.6    h = 0.9    L = 10.0    E = 3e10    I = b*h^3/12.0    EI = E*I    MaxZdisp = q*L^4/(8*EI)    count = 0     loop i(0,L,0.1)        count += 1        zdisp = (i^2-4*L*i+6*L^2)*(q*i^2/(24*EI))        table.x(1,count) = i        table.y(1,count) = zdisp    endloopend@_AnalyticalDisp

挠度理论值与数值模拟计算值见下图：

图2 挠度对比图

根据以下代码，在模型上下表面各分出一组：

fish def _Pos    _y = -0.35    _z1 = 0.4    _z2 = -0.4end@_Poszone group 'top' range position-y @_y position-z @_z1zone group 'bot' range position-y @_y position-z @_z2

根据以下代码，求取悬臂梁弯矩的数值计算值：

table '2' label '_NumericalM'fish def _NumericalM    dx1 = 0.5*L/xsize    x1 = 0.5*dx1    count = 0    loop i(x1,L,dx1)        count += 1        zt = zone.near(i,_y,_z1)        zb = zone.near(i,_y,_z2)        s1 = zone.stress.xx(zt)        s2 = zone.stress.xx(zb)        w = b*h^2/6        M = 0.5*w*(s1-s2)        table.x(2,count) = i         table.y(2,count) = M    endloopend@_NumericalM

悬臂梁弯矩的数值计算值与材料力学理论值对比见下图：

图3 弯矩对比图

由图可知，采用本文介绍的弯矩计算方法得到的悬臂梁弯矩分布规律与采用材料力学公式计算得到的弯矩分布规律一致，但由于网格尺寸、插值方式等因素的影响，采用本文介绍的弯矩计算方法得到的弯矩值存在一定误差。

本文所介绍的计算方法同样适用于桩的弯矩计算，案例可参考《FLAC3D在岩土工程中的应用》（孙书伟林杭任连伟著）第九章相关内容，读者可自行验证。

3.特别说明

本文所提方法并非原创，原为程小杰教程群一位同仁分享；作者后在《FLAC3D在岩土工程中的应用》（孙书伟林杭任连伟著）一书中查阅得到，并在此作为分享。文中悬臂梁案例为作者原创。

4.参考文献

[1].材料力学（Ⅰ）[M].高等教育出版社:,200208.

[2].FLAC3D在岩土工程中的应用[M].中国水利水电出版社:,201106.

来源：FLAC3D小技巧

岩土水利 UM 理论 FLAC3D 材料 Origin

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首次发布时间：2023-12-26

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