网格剖分算法

在实际生产中，根据几何不同、网格质量要求，会采用不同的网格划分形式。网格质量，仿真结果，时间成本三者之间是此消彼长的关系。何种类型的网格质量好，一直争论不休。三角形与四边形，四面体与六面体之争，总没有定论。当然，一般观点认为四边形、六面体优于三角形、四面体。在实际使用时，我们当然希望划分为四边形和六面体。但是，对于复杂结构，其时间花费是不可估量的。故，应该采用一个“可接受的”，“相互妥协的”方案。

无法避免的是，仿真结果和实际之间肯定有误差。从实际产品模型到数学仿真模型，假设是什么，关注点是什么，误差范围是什么，这应该是要清楚的。比如，在模拟螺栓连接是，使用梁单元好，还是弹簧单元好？如果，我们清楚知道连接螺栓的刚度数据，弹簧单元优一些，其可以精确控制刚度。梁单元也可以，其可以根据截面积近似等效螺栓实际刚度。如果不知道，那么使用梁单元，以材料、截面积近似螺栓连接刚度，便是方便可行的。三角形与四边形的道理类似。虽然从积分方法上来说，四边形某些性能更优。但是，质量优异的三角形（等边三角形）与质量不太完美的四边形（梯形）之间，孰好孰坏就很难说了。

网格剖分算法可以分为，非结构与结构算法。结构算法易划分简单几何，网格质量高。非结构算法，可划分任意几何。结构算法简单，成熟，稳定性高；非结构算法，如Delaunay、AFT等，主要的挑战是稳定性、容错性。研究非结构算法，生成高质量的四边形、六面体网格是难点。如下图，使用Quasi-structured方法，Gmsh也实现了此算法。

本文描述各种网格算法，及其使用场景。

1. 代数插值方法（Algebraic method）

此方法使用插值方法，针对类似三角形，四边形，六面体的几何。注意类似的意思是，不一定绝对要求是四边形，只要四个Corner点就行。Gmsh的Transfinite方法，就是属于此类。方法的核心是，以边界，插值得到几何内部的网格节点。如下图所示的三角形和四边形插值，

采用不同的插值方法，可以有不同的结果。如Gmsh使用的是，Transfinite 插值。当然，也可以插值形成四面体、五面体的内部单元，但是其形态不好，一般并不使用。

2. 映射（mapping）

映射算不得一个具体的算法，其是一种思想。由A到B建立某种关系，便是映射。如划分曲面时采用的参数化法，拉伸，旋转，扫略生成网格都属于此方法。拉伸，旋转，扫略都是以某个Base,沿着路径生成，其不需要计算网格相邻关系，仅是由几何变化计算出网格节点坐标，易于实现。如Gmsh中，在拉伸几何时，可以同时拉伸网格，都属于这个范畴。曲面的参数化法是另一种映射，由参数平面映射到实际三维平面。映射法是个很大的类，不至与此。HyperMesh中的结构实体网格划分，源面、目标面可以一对多。

3. Delaunay算法

Delaunay算法是非结构网格的主要算法，是生成有限元复杂网格的基石。其在复杂几何的可视化中，应用也很广泛。其保证区域内的三角形的最小角最大（节点不变的情况下），获得最优三角形化。同时，Delaunay也使其他算法前站，如之前介绍的Q-M方法，三角形合并四边形等。总而言之，其算法结构简单，效率高，应用最广。Gmsh，TetGen都主要采用Delaunay算法。

4. AFT算法

中文翻译为“波前法”或“前沿推进法”，以当前前沿在区域内搜索最佳点。优点是生成的网格形态好，质量高。在三维区域，求相交相对来说比较复杂、耗时。

5. 区域分割法

将复杂几何分解为简单几何，实际算法难度较大。可以半自动，人工干预，分割复杂几何。如HyperMesh的“Mappable” 功能。分割后的简单几何可以使用结构算法划分。

6. 四叉树、八叉树（QUADTree、OCTTree）

此种方法可归于区域分割法，以四边形或六面体来填充区域。然后，在节点间生成合适的单元。难点是边界处理，且边界处的网格质量是最差的。仿真要求，边界处的网格质量要好，与这一准则是相悖的。此方法在实际中，大多用于管理网格大小。如与Delaunay算法结合，QUADTREE生成区域内部节点。然后使用Delaunay插入法形成单元。由四叉树生成的节点是四边形的四个顶点，位置是优异的，故网格质量是好的。

7. 四边形、六面体方法

质量高超的四边形、六面体一直是追求的目标。合并算法不能使所有网格均为四边形或者六面体，且质量无法保证。全部四边形化，如Q-MORPH方法。Gmsh实现了，“Quasi-structured Quad”方法，其可以产生质量优秀的四边形和六面体。但是，没有看到Gmsh有此方法三维的实现。下图，Quasi-structured Quad”划分的六面体网格。

参考：

• Mesh generation application to Finite Element Method

• Quasi-structuredquadrilateral meshing in Gmsh-arobust pipeline for complex CAD models