振动理论背后的数学方法：特征分析

    打开振动力学(偏力学专业)、机械振动(偏机械专业)、结构动力学(偏土木专业)相关的教材，一般会看到多自由度系统和连续系统(无限自由度)。多自由度系统的研究工具是常微分方程(只有时间变量)，连续系统的研究工具是偏微分方程(变量包含时间和坐标)。

    实际结构都是连续系统，但在有限元方法的离散下，连续系统变成了多自由度系统。因此，多自由度系统的分析理论才是我们最应该关注的。

    分析多自由度系统，最重要的数学工具是矩阵，相关知识来自矩阵论或线性代数教材。矩阵论可以认为是线性代数的一个重要分支或子领域。

(截图自刘延柱陈立群《振动力学-第3版》)

    矩阵分析当然是一个强大的分析工具，能全面掌握当然好，但内容实在太丰富了。对于振动分析来说，最迫切内容应该是特征分析，涉及特征值、特征向量、广义特征值、广义特征向量等。

    特征值为标量，特性向量为向量。

    在新

    平时说的特征向量一般是指右特征向量。

    Hermitian矩阵(厄米特矩阵、埃尔米特矩阵、厄米矩阵)，指的是自共轭矩阵。矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数。比如：

    特征值和特征向量的性质有很多，这里只列举一部分。

(以上截图自张贤达《矩阵分析与应用-第2版》)

    多自由度无阻尼系统。

（截图自刘延柱陈立群《振动力学-第3版》）

    平时我们说的特征值和特征向量其实是广义特征值和广义特征向量。

    多自由度阻尼系统。

（截图自刘延柱陈立群《振动力学-第3版》）

    平时我们也说这是特征值和特征向量，但数学上好像找不到这个依据。

    本文主要展示了振动力学涉及的数学概念。笔者对学习理论知识的观点一直未变：重概念轻计算。这不是因为计算不重要，只是因为有限元方法本身就是一种普适性的计算方法，另外个人原因就是笔者数学不够好。在前作中《结构动力学仿真分析的振动理论基础知识，以及什么是解耦？》也有类似观点阐述。

来源：华仿CAE