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文章名称：《Assessment of damage evolution behavior in different ductile sheet metals and shapes by the Lemaitre’s ductile damage model 》

doi：10.1016/j.engfailanal.2022.106509

该本章介绍一个适用于延性金属材料损伤的常见的宏观损伤模型，即lemaitre模型，由于abaqus显示分析中没有内置该本构模型，因此使用该模型往往需要进行二次开发。而文章对该模型数值实现流程介绍的相对清晰，很适合想利用lemaitre本构对材料延性失效进行分析的研究人员。

这里对该文章的数值框架以及分析的问题进行简要的介绍，感兴趣的小伙伴可以详细阅读该文献。

众所周知，材料的损伤是指由于机械、热和化学载荷而导致的机械强度的突然退化。在塑性变形下的韧性金属中，微应力在缺陷附近的积累会导致空洞的成核、生长和聚结、宏观裂纹扩展和完全断裂。目前常用的损伤模型主要分为三类：

（1）非耦合损伤模型（特定状态变量达到临界值时材料发生失效，相对容易实现。损伤与塑性是非耦合的，英文：abrupt failure criteria（Cockcroft模型））

（2）连续损伤模型（基于热力学和应变等效原理，塑性与损伤是完全耦合的，损伤会引起刚度退化，屈服面的收缩。英文：continuum damage mechanics（lemaitre模型））

（3）细观损伤模型（基于空洞形核和生长的理论研究，孔洞的形核生长受到塑性变形的影响，同时空洞体积分数会影响材料的屈服函数，其损伤特征具有真实的物理意义，并被大量实验证实。英文：micro-mechanical damage models（GTN模型））

作者文章基于连续损伤进行分析

lemaitre损伤模型公式如下（引用更加详细的文献《Finite element simulation of the punchless piercingprocess with Lemaitre damage model》）：

使用mises各项同性屈服+swift硬化模型+lemaitre损伤模型

考虑损伤的mises屈服函数：

总应变可以加法的分解为弹性部分和塑性部分：

等效塑性应变计算公式为：

根据广义hooke定义计算应力增量：

塑性流动法则：

S为偏应力张量，可以由柯西应力σ张量计算得到：

σH是体积应力：

根据偏应力张量计算得到mises等效应力：

swift硬化模型：

硬化模量为：

损伤部分基于应变等效性原理（该原理认为：应力σ作用于受损材料引起的应变和实际应力(有效应力)作用于无损材料引起的应变等价），有效应力为：

其中D通常为标量函数（也可以作为张量形式使用）

考虑各向同性硬化和各项同性屈服，耗散势函数可以分解为塑性耗散势和损伤耗散势：

Φ是塑性势能:

塑性应变率张量定义为：

γ是塑性一致性乘子，并满足KKT条件：

s和r是lemaitre损伤函数的参数，并且依赖于使用的材料。通常s取为1。Y是损伤能量释放率，并定义为：

损伤演化表示为：

由于lemaitre损伤模型是局部损伤模型，存在网格依赖性。网格尺寸影响为：

损伤参数r影响为：

作者使用了两个数值模型验证程序的预测能力

(1)单轴拉伸试样：

（2)缺口试样拉伸；

基于作者提供的完整数值推到框架，可以编写对应的vumat子程序进行金属试样的延性损伤数值模拟。

需要注意的是，该类模型对于单元尺寸很敏感，同一个试样，同样受力状态下，网格的差异性也会导致裂纹萌生和扩展位置的差异，一般可以修正为非局部损伤模型可以避免这个问题，同时显示损伤分析对于质量缩放也十分敏感，要仔细检查质量缩放前后模拟的差异性。

圆柱状试样金属拉伸断裂模拟：