仿真笔记——结构振动模态有限元分析理论、技术及应用详解

   

一、模态测试概述

   

结构在动力载荷作用下，总要产生一定的振动响应。而结构的振动，常常是结构损坏、环境恶化，设备的精度或可靠性降低等工程事故的主要原因。因此，研究结构的动力特性和动力强度，已日益成为结构设计的重要课题。

结构的动力特性主要取决于它的各阶固有频率、主振型和阻尼比等。这些参数也就是所谓的模态参数。如果已经有了结构的实物图或设计图纸，并掌握所有材料的力学性能数据，那么原则上可以用有限元分析等数值计算方法求出结构的模态参数。然而，由于诸方面的原因，例如：非线性因素，材料的不均匀性，阻尼机理的复杂性，在加上构件与构件、整机与基础的连接刚度难以确定等，使有限元计算的准确性（甚至于可能性）受到限制。

在本世纪六、七十年代发展起来的现代模态试验分析技术弥补了有限元分析技术的某些不足。模态试验分析与有限元分析的相互结合及相互补充，在结构优化设计和设备诊断等许多方面，都取得良好的成效。它们已经在航天、航空、车辆、船舶、机床、建筑机械、电器设备等工业部门得到极为广泛的应用。

若干年来，众多学者提出的各种模态参数识别方法，大体上可分为时域法和频域法两类。时域法是一种从时域响应数据中直接识别模态参数的方法，频域法则是在测量频响函数基础上，利用最小二乘估计萃取模态参数的方法，也有人称之为机械导纳法或传递函数法。本节将着重讨论频域法，它是目前公认的比较成熟和有效的方法。

   

二、传递函数和频响函数

   

1.传递函数和频响函数

 

 

在电路或控制系统理论中，将输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比定义为传递函数。如果把机械系统的激振力看作输入量，把振动的位移响应看作输出量，则机械系统的传递函数定义为

                                                                       （4-54）

其中，为复变量，称为复频率，其实部和虚部常用符号和表示，即。拉普拉斯变换的定义为

                                                              （4-55）

拉普拉斯变换的主要性质有

                                                     （4-56）

根据以上性质，对单自由度振动系统的运动微分方程进行拉普拉斯变换，可得

       （4-57）

设初始位移和初始速度均为零，则有

                                                                （4-58）

由此可以得出单自由度系统的传递函数为

                                                              （4-59）

令方程（4-58）的特征多项式等于零，即

                                                                            （4-60）

在小阻尼情况下，由式（4-60）求得的一对共轭复根为

                                                                          （4-61）

和称为该系统的复频率，其实部既是系统的衰减指数，虚部为系统的阻尼固有频率。

    传递函数式（4-59）可表示为

                （4-62）

式中

                                                                                （4-63）

称为留数。由式（4-62）可知，当或时，趋于无限大，故也称复频率和为极点。

    前面已指出，线性系统的输出与输入的傅立叶变换之比，就是系统的频响函数，即                                  

                                   （4-64）

在一定前提条件下，也可以从信号的拉普拉斯变换式中，以置换而求得它的傅立叶变换，因而有

                                                                         （4-65）

例如，对单自由度振动系统，将其传递函数式（4-55）的变量用置换，得到它的频响函数为

                                                                    （4-66）

这与前面简谐激励导出的位移导纳完全相同。由于频响函数和传递函数不仅适用于简谐激励，而且适用于任意激励，可将其理解为广义上的机械导纳。

2.传递函数矩阵和频响函数矩阵

 

 

多自由度系统在任意激励下的运动方程为

                                                                        （4-67）

对方程作拉普拉斯变换，并设所有坐标的初始位移和初始速度均为零，则有

                                                                 （4-68）

其中，和分别为和的拉普拉斯变换。令

                                                                       （4-69）

                                                                （4-70）

则方程（4-68）可缩减为

                                                                         （4-71）

或                            

                                                                          （4-72）

称为系统的阻抗矩阵或特征矩阵，称为系统的传递函数矩阵，对于个自由度系统，均为方阵。的第行第列元素等于系统在坐标的响应函数与坐标激励函数拉普拉斯变换之比，即

                                                                    （4-73）

如取，则拉普拉斯变换转化为傅立叶变换，传递函数矩阵转化为频响函数矩阵，这时可得到下列定义式及关系式：

                                                                    （4-74）

                                                              （4-75）

                                                                        （4-76）

                                                               （4-77）

如前所述，由傅立叶变换给出的频响函数与根据简谐激励得到的导纳函数是完全一致的。因此，频响函数矩阵也称为导纳函数矩阵。频响函数矩阵中对角线元素、、为原点导纳或驱动点导纳；的非对角线元素，为跨点导纳或传递导纳。

本节讨论的模态试验分析，就是建立在一组频响函数测量基础上的模态参数识别技术。关于传递函数矩阵和频响函数矩阵的性质，下文还要进一步讨论。

   

三、实模态的频响函数和模态参数

   

1.实模态的模态参数

 

 

由前节分析，一个自由度的线性系统，有个无阻尼固有频率和相应的个模态振型。个模态振型可综合为一个模态振型矩阵

                             模态振型对质量矩阵和刚度矩阵满足下面形式的加权正交关系：

                                                                    （4-78）

                                                                    （4-79）

并且有                                   

                                              （4-80）

和分别称为模态质量和模态刚度。

在比例粘性阻尼情况下，阻尼矩阵为常数），有下面的正交关系：

                                                                      （4-81）

称为模态阻力系数。

有时用模态衰减系数或模态阻尼比表征系统的阻尼特性，有

                                                                         （4-82）

                                                                         （4-83）

系统第阶阻尼固有频率与无阻尼固有频率的关系为

                                                             （4-84）

通常称为系统的模态频率。

    、、、、（或、）统称为系统的模态参数。我们说，一个自由度的机械系统，有个模态，就是指它有组模态参数。下标，表示模态的阶次。上述分析中，这些模态参数全都是实数，故称为实模态。

2.实模态情况下的频响函数

 

 

自由度系统的频响函数可由其运动方程

                                   按简谐激励或任意激励的傅立叶变换式导出，现取前者，即取

                                                                      代入式（4-67），可得

                                                                   （4-85）

通过模态分析方法，即引进一模态坐标向量

                                                                       （4-86）

显然有                                且                         

                                                                     （4-87）

将式（4-87）代入式（4-85），并左乘，根据正交关系式（4-78）、（4-79）、（4-81），可得到个解耦的方程

                 （4-88）

其中                          

                                                                                 （4-89）

这里，为模态坐标，为响应的复数振幅，为对应第阶模态的激振力分量的复数力幅。

    与的比值，称为系统的第阶模态导纳，或第阶模态频响函数，用表示，即                                                    （4-90）

以模态导纳为对角线元素的对角矩阵称为模态导纳矩阵，即                         

                      （4-91）

由式（4-88）可知，

                                                                （4-92）

前节给出                       

                                                                             （4-93）

可见，导纳函数矩阵，即频响函数矩阵，与模态导纳矩阵之间满足下面关系：

                                                                       （4-94）

也即

                                                    （4-96）

或                         

                                                                 （4-97）

可见，系统的任一频响函数均可表示为其各阶模态导纳的线性和。

   

四、复模态的传递函数和模态参数

   

上一节讨论的实模态，适用于无阻尼系统或比例粘性阻尼系统。对于更一般的非比例粘性阻尼系统，宜采用下面的复模态理论进行研究。

1.复频率、复振型

 

 

上节曾给出自由度系统运动方程的拉普拉斯变换式

                                   对自由振动情况，有

                                                                             （4-98）

其特征方程式的展开式是复变量的次多项式。令，可求得方程（4 -87）的个特征根。在小阻尼情况下，它们是对共轭复根，即

                                                        （4-99）

将、代入方程（4-97），可求得相应的个特征向量、，它们满足方程

                                                         （4-100）

与的对应元素均为共轭复数。

 和称为系统的复频率。实际上它包含了有关阻尼的参数（第阶模态衰减指数）和有关频率的参数（第阶模态频率）。

 、称为系统的复振型向量或复模态向量。实振型与复振型的差别在于：前者意味着系统的所有质点在振动过程中保持同相或反向；后者表明各质点在振动过程中形成复杂相位关系。

2.复模态情况下的模态质量、模态刚度和模态阻力系数

 

 

在复模态情况下，不可以简单的套用实模态关系式（4-78）、（4-79）和（4-81）求得系统的模态质量、模态刚度和模态阻力系数。实际上，复振型之间的正交关系与实振型之间的正交关系并不相同，先推证如下：

                                                                 （4-101）

                                                                  （4-102）

式（4-101）左乘，注意到、、为对称矩阵可得

                                                             （4-103）

                                                             （4-104）

两式相减，得

                                                 （4-105）

当时，式（4-105）成立必有

                                                   （4-106）

式（4-103）乘以，式（4-104）乘以后，两式再相减，当时，约去公因子，可得

                                                           （4-107）

式（4-106）和（4-107）即是复振型的两个正交关系式。

    如果让两个正交关系式中，等于，则有， ，由此可得

                                                                        （4-108）

                                                                         （4-109）

因此，在复模态情况下我们可以按下面的关系定义模态质量、模态刚度和模态阻力系数：

                                                                         （4-110）

                                                                          （4-111）

                                                                          （4-112）

这样得到的、、都是实数，并且符合下面关系：

                                                                   （4-113）

                                                                      （4-114）

   

五、模态分析在工程中的应用

   

作为振动工程理论的一个重要分支，模态分析或实验模态分析为各种产品的结构设计和性能评估提供了一个强有力的工具，其可靠的实验结果往往作为产品性能评估的有效标准，而围绕其结果开展的各种动态设计方法更使模态分析成为结构设计的重要基础。特别是计算机技术和各种计算方法（如FEM）的发展，为模态分析的应用创造了更加广阔的环境。

模态分析的应用可分为以下四类。

1.模态分析在结构性能评价中的直接应用

 

 

根据模态分析的结果，即模态频率、模态振型、模态阻尼等模态参数，对被测结构进行直接的动态性能评估。对一般结构，要求各阶模态原理工作频率，或工作频率不落在某阶模态的半功率带宽内；对结构振动贡献较大的振型，应使其不影响结构正常工作。这是模态分析的直接应用，已成为工程界的基本方法。

2.模态分析在结构动态设计中的应用

 

 

以模态分析为基础的结构动态设计，是近年来振动工程界开展的最广泛的研究领域之一。

有限元法（FEM）和试验模态分析（EMA）为结构动态设计提供了两条最主要的途径。在围绕着两种基本方法所展开的结构动态设计研究工作中，人们提出了很多的方法。这些方法可归为以下六类：1）载荷识别；2）灵敏度分析；3）物理参数修改；4）物理参数识别；5）再分析；6）结构优化设计。他们分别从不同方面解决了结构动态设计中的部分问题，某几种方法的组合可做到结构的优化设计。围绕这两种基本方法所展开的研究工作内容十分丰富。应用这些成果，大大提高了产品设计性能，缩短了设计周期。

3.模态分析在故障诊断和状态监测中的应用

 

 

利用模态分析得到的模态参数等结果进行故障判别日益成为一种有效而实用的故障诊断和安全检测方法。如根据模态频率的变化判断裂纹的出现，根据振型的分析判别裂纹的位置，根据转子支承系统阻尼的改变判断和预测转子的失稳，土木工程中依据模态频率的变化判断水泥柱中是否有裂纹和空隙等。

4.模态分析在声控中的应用