仿真笔记——基于有限元方法的结构振动模态分析与稳定分析

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任何一款结构分析软件，其结构分析功能都可以做这样一个简单的分类，线性分析和非线性分析。从数学角度来说，把结构分析问题抽象成一个数学问题，如果求解的问题是一个线性系统，施加的荷载和结构的响应是线性相关的，这就是线性分析，线性分析的计算是非常高效的。非线性问题就比较复杂，计算时间比较长，包括很多种类型。

另一个大的分类，从结构分析当中是否考虑结构本身的惯性力来分类，分为静力分析和动力分析，静力分析中不需要考虑结构的质量，但动力分析中结构的质量会产生惯性力，会影响结构的动力平衡方程。区别就在于，是否考虑本身的惯性力。

这两种分类有交叉，既有线性静力分析，又有非线性静力分析，对动力分析也有线性和非线性区别，具体见图1。

图1 结构分析分类

一、模态分析

振型叠加法，把耦合的动力平衡方程转化为解耦合的单质点动力平衡方程，n 个自由度问题转换为n 个单自由度问题，不考虑自由度之间的耦合，求解效率非常高，求解完之后再进行叠加，解耦过程见图2。

图2 通过引入振型进行方程解耦

对解耦后的单自由度体系可以直接进行求解，求解时程效应，这就是振型叠加法的时程分析法。也可以只求解它的峰值，最大的效应，若干个振型的峰值进行组合，这就是反应谱分析方法。时程分析能得到每个时刻的效应，反应谱分析只能得到某一刻最大的效应。

这两种分析方法都需要用到坐标变换，将位移自由度转换为广义自由度，这里面用到振型矩阵Ψ，一般情况下采用特征向量模态分析得到的振型矩阵，振型矩阵并不要求一定由特征向量组成，只要振型矩阵满足关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性，因此工程上也常用利兹向量求解的振型矩阵。

特征向量法求解的振型矩阵的缺点见图3，特征向量法只考虑自身质量和刚度的分布求解振型矩阵，描述结构自身固有的振动性质，不考虑外荷载的空间分布，会产生很多对后期振型组合无用的振型。

图3 特征向量法的缺点

事实表明，使用与动力荷载的空间分布相关的向量进行振型叠加法的动力计算，比使用相同数量的特征向量进行的计算更高效更准确。利兹向量法中的向量可以理解为空间结构的一种变形形式，一组利兹向量就是一种变形形式，振型和频率用于后续的动力分析。利兹向量本身没有多大意义，主要是为后续反应谱分析、模态时程分析打下基础。这种方法求解的振型和频率并不是结构固有的特性，它是结构在某种特定荷载分布的情况下才具有。比如分析楼板的固有频率，只能用特征向量法，不能用利兹向量法。

振型质量参与系数，它的物理意义是特定方向的单位地震加速度作用下，某振型贡献的地震剪力与总地震剪力（总剪力）的比值。抗震设计规范一般要求振型质量参与系数不小于90%。

二、稳定分析

1. 失稳类型包括三类，特征值失稳、极值点失稳、跳跃失稳。

特征值失稳是弹性失稳，不考虑非线性，即不考虑几何非线性和材料非线性。在数学上也叫平衡分叉失稳或分支点失稳，是理想情况下除原始平衡状态外出现的新的其他平衡类型，比如一个受压构件，刚开始一个受压平衡状态，随着压力增加，横向一个扰动，出现一个新的压弯平衡状态。结构特征值失稳时的荷载称作屈曲荷载，也叫临界荷载，屈曲荷载=屈曲因子×实际荷载，屈曲因子是施加荷载的放大系数。比如拱的失稳。
极值点失稳是弹塑性的、几何非线性失稳，平衡状态无质变，变形迅速增大，但无新的变形形式，此时结构失稳的荷载叫做极限荷载。
跳跃失稳是弹性、几何非线性的失稳，结构平衡状态发生明显的跳跃，突然过渡到非临近的另一个具有较大位移的平衡状态，比如网架的失稳。这种失稳一般分析不多。

2. 特征值屈曲分析

在说屈曲分析之前，先说下什么是几何非线性，在说几何非线性之前，先说下什么是线性。线性分析的基本假定是结构承受的荷载和产生的位移都较小，结构分析根据原始（变形前）的几何位置建立方程，其计算优势是结构刚度矩阵的组装和求逆只需一次。

几何非线性体现两种情况：一种是大荷载效应，一种是大位移效应。荷载比较大，结构产生的内力或应力就比较大，会产生应力刚化效应，引进一个几何刚度来说明对结构刚度的影响，修正结构的整体刚度。虽然荷载比较大，但是结构的位移和变形可能很小，可是结构刚度明显发生显著变化。平时我们提到的P-Delta效应就是一种大荷载效应，它指较大的正应力对横向弯曲和剪切的影响。见图4。

图4 P-Delta效应

在sap中考虑P-Delta效应，可以建立两个工况：一个非线性静力工况（考虑轴力对结构刚度的影响），一个是线性静力工况（接续上一个非线性工况的刚度，不继承其他因素）。此时的线性静力工况就考虑到轴力对结构刚度的影响之后的情况，结构的内力和变形都会发生变化。

由上述可知，结构的轴向应力会影响整体结构的刚度，拉力会提高几何刚度，压力会降低几何刚度，见图5。K 是结构整体刚度，G(P) 是应力产生的几何刚度，如果轴力过大，整体刚度K 接近零，就会发生屈曲失稳。

图5 应力刚化效应

特征值屈曲分析可以看成结构P-Delta效应达到极限的一种状态，刚度弱化了，挠度和内力增加；刚度强化了，挠度和内力减小。图5中的两个方程看着很相似，上面是特征值屈曲分析方程，λ 是屈曲因子，φ 是模态矩阵，结构的变形形状；下面那个是模态分析方程，λ 是圆频率，φ 是振型矩阵，它们的求解方法一致。一个结构的特征值失稳特性，一个是结构的自振特征，在数学上是一致的。

特征值屈曲分析是一种线性分析，它只是继承一个非线性的工况下的刚度，特征值屈曲分析的屈曲模态和施加的荷载模式有很大关系，集中荷载、线荷载、面荷载作用下的模态是不同的。

屈曲分析的一阶失稳就是欧拉公式计算的临界荷载，可以在sap中直接建立屈曲分析工况类型。如果是基于恒载作用条件下的屈曲分析，可以建立两个工况：一个是非线性静力工况，零初始条件+P-Delta效应+恒载；第二个是屈曲工况，继承工况1的的结构刚度，另外施加活荷载，见图6。此时得到的屈曲因子就是活载的放大倍数。