1.PINN简介   

PINN(Physics-informed Neural Network,简称PINN)基于物理信息的神经网络，2018年成功应用于解偏微分方程，之后在数学领域就像哥伦比亚发现了新大陆一样，一直是数学物理研究的热点方向。PINN是有监督的神经网络，不仅可以像其他神经网络学习样本数据的分布规律，还可以考虑由数学公式表达的物理规。PINN通过在损失函数里加入物理约束，训练数据可大大减少，由于具有了物理规律，这使得结果具有一定的物理解释性。

 图1 PINN原理图(图片来源于网络)

热传导方程为：

     (1)

u(t,x,y,z)表示温度是时间和空间的函数，k为热扩散率，为材料热传导率与比热容和密度乘积的比值。当为稳态热传导时，公式等号左边为常数。

3.问题描述   

考虑二维稳态热传导，且等号左边为0时，有：

此时，物体热传导过程与系数k无关，即物体最终的温度分布于热传导率、比热容和密度无关。

考虑如下二维平板热传导过程，其边界条件如下图所示，求解其稳态时的温度分布。

4.有限元模型求解温度场   

设热传导率为50W/(m·K),热交换系数为750W/(m2K),建立如图3所示模型。求解过程在ABAQUS软件中完成。

图3 有限元模型

通过对二维平板进行有限元热传导求解，其温度分布如图所示。

图4 有限元温度求解结果

5.PINN模型求解温度场   

PINN的核心在于将微分方程和边界条件写入神经网络的误差函数中。pytorch中的torch.autograd.grad函数可以实现函数微分过程。，此过程可在代码中学习，在此不在赘述。通过神经网络，我们得到了如图5所示温度场分布。

图5 PINN求解温度场分布

6.结果分析   

通过对比图4-图5的温度场分布结果，使用PINN求解的温度场与有限元法求解的温度场在物体远离边界范围内的分布上具有一定的相似度，且数值也较为接近，但在边界位置上两者分布差异较大，神经网络的最小值竟然有负值。整体上看，PINN求解方法获得的解是逼近有限元的。本文中的误差可能与神经网络和其参数设置具有一定的关系，有兴趣可自行研究。