Wolfram Mathematica张量运算个人总结

应师弟邀请，结合自己日常科研经验，总结下关于张量运算的编程方法。(由于Mathematica 支持符号转义，个人编程时候习惯用转义变量，再粘贴成文本时候会有乱码，因此部分文本采用截图的形式讲解，见谅)

目前大家比较常用的数学类编程软件主要有：Mathematica，Maple，Matlab，其中Matlab偏向数值运算，前两个偏向符号运算及公式推导。张量，作为力学和物理学中比较常用的数学工具，在描述材料性能（例如弹性张量），物理场空间分布（例如应变场，应力场）具有重要的应用。平时推导张量运算，一般都是手动将4阶弹性张量转化为Voigt格式，进而做矩阵运算。如果直接用Matlab按照4阶张量运算，在处理高维矩阵的时候，常常需要用到reshape() 函数调整运算数组结构，非常容易出错。

Voligt 格式弹性张量

这里用Mathematica中表的概念，将高阶张量转化为表，可以直接进行点乘，并矢，梯度，散度，旋度（力学一般用不上旋度，电磁学可能偏多些）的运算。

1、什么是表？

Mathematica里并没有矩阵的概念，取而代之的是用表(Table)代替矩阵运算。可以用Excel中的行，列，页来理解，第一层是Excel页中的元素，第二层是Excel行中的元素，第三层是列中的元素，等等乃至更高阶数。事实上，Mathematica并没有规定必须是填满，每行，列页元素不相同也可以。

Table构造张量与Excel类别

E.g. Table构造3阶张量和非满阵张量

借助Table，我们可以构造任意维度的张量，例如构造4阶弹性张量Cijkl

四阶弹性张量

2、张量的常见运算

我们知道，张量的运算实际上就是相同角标爱因斯坦求和，不同角标并矢

即，相同角标Sum运算，不同角标Table运算

第一个Sum函数的意思是作 爱因斯坦求和，第二个Table是将剩余的角标并矢成高阶张量的形式，实际使用的时候一般二者结合使用。

对于梯度和散度运算，有内置的函数

内置的梯度和散度函数

实际上，内置的函数计算结果是右梯度和右散度，考虑到力学中大部分张量都是对称的，左右梯度实际上无差别，但为了严谨，需要将对应的角标置换下，这里就不过多展开，直接给出计算模块。

左右梯度和散度计算模块

那么对于更为复杂的计算，例如

可以直接套用上述模块

E.g. 复杂张量运算实现，这里正好计算出来是2阶张量，方便显示采用矩阵格式（//MatrixForm）

3、结语

上面介绍了张量的并矢，点积，梯度，散度，并没有介绍叉乘和旋度，原因是力学计算中除了自旋角动量和轨道角动量相关的运算，这两个符号的运算并不常见，思路是一样的，利用叉乘的张量公式结合利威尔-奇维塔张量运算。

希望对各位日常推导公式带来帮助。

感谢阅读。