输运方程的推导

1 概述

2 适用范围

3 推导过程

做出以下定义：

• V：空间任意固定区域（不随时间改变），即控制体

• S：V 的外表面，即控制面，既可是流场真实边界（如固体表面），也可是流场内部虚拟边界

• Φ：流场的物理量，其分布随时间和空间变化，即以物理场的形式存在

对于 Φ，其随时间的变化影响因素包括：

• 通过表面 S 和周围环境的作用通量（例如流量）

• 内部源项引发的改变（例如热源）

法向量为外法向，此项表征了离开区域 V 的 Φ 通量。

其中，D 为介质的固有属性，根据物理量 Φ 的不同，有扩散率、热传导率、电传导率、粘度等多种属性。负号表示扩散方向是逆梯度的（从大向小扩散）。

因此，可得：

4 后记

1 物理含义清晰，推导过程始终围绕“守恒”这个物理本质展开

2 积分形式可以适用于不连续的流场，例如存在点质量源等情况

几个重要概念：

• 体积分：对函数在三维空间求积分，约等于将三维空间分成若干小块后进行求和

• 通量：向量穿过曲面的强度，数学定义中，曲面可封闭也可不封闭

• 梯度表示了函数在空间定点上最快的上升率及其方向。梯度运算针对标量，运算结果为向量。在三维空间，梯度运算为：

• 散度表示了当体积收缩到一个点时，其通量的极限状态。散度运算针对向量，运算结果为标量。在三维空间，散度运算为：