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输运方程的推导

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1 概述

对于流场中守恒的物理量,均可采用输运方程(transport equation)进行描述其随时间变化和在空间的分布规律。输运方程的通用形式为:


输运方程描述了流动过程中的物理量守恒,其包括瞬态(transient)、对流(convection)、扩散(diffusion)、源(source)四个部分。


2 适用范围

输运方程应用的前提条件为流体满足连续介质假设。
流体力学的三个基本方程(连续性方程、动量方程、能量方程)均为输运方程针对不同物理量的表述形式,纳维-斯托克斯方程(N-S方程)为动量方程针对牛顿流体的特定表述。
输运方程也适用于固体热传导等非流动现象。


3 推导过程

本文中,采用弱形式的积分推导,更有助于理解输运方程中各个项的物理含义。

做出以下定义:

  • V:空间任意固定区域(不随时间改变),即控制体

  • S:V 的外表面,即控制面,既可是流场真实边界(如固体表面),也可是流场内部虚拟边界

  • Φ:流场的物理量,其分布随时间和空间变化,即以物理场的形式存在


对于 Φ,其随时间的变化影响因素包括:

  • 通过表面 S 和周围环境的作用通量(例如流量)

  • 内部源项引发的改变(例如热源)


对于区域 V,Φ 的变化率为 Φ 在 V 的体积分对时间导数:


将 S 上和 Φ 相关的通量命名为 J,则穿过表面 S 的总通量为:

法向量为外法向,此项表征了离开区域 V 的 Φ 通量。


在区域 V 内,源项的作用为:


对于区域 V,Φ 变化率和源项、表面通量之间满足关系:


通量密度 J 包括对流和扩散两个部分,两者由于物理机理不同,因此可线性叠加:


对流通量由流体宏观速度引发,其表达式为:


扩散通量由 Φ 的梯度引发,其表达式为:

其中,D 为介质的固有属性,根据物理量 Φ 的不同,有扩散率、热传导率、电传导率、粘度等多种属性。负号表示扩散方向是逆梯度的(从大向小扩散)。


综上可知,


 根据高斯公式:


可将通量改写为体积分形式:


对于瞬态项,有:


因此,可得:


由于积分区域 V 为任意形状,因此等式成立的充要条件为:


此为输运方程的通用表达形式。


4 后记

为什么使用积分形式推导:

1 物理含义清晰,推导过程始终围绕“守恒”这个物理本质展开

2 积分形式可以适用于不连续的流场,例如存在点质量源等情况


几个重要概念:

  • 体积分:对函数在三维空间求积分,约等于将三维空间分成若干小块后进行求和

  • 通量:向量穿过曲面的强度,数学定义中,曲面可封闭也可不封闭

  • 梯度表示了函数在空间定点上最快的上升率及其方向。梯度运算针对标量,运算结果为向量。在三维空间,梯度运算为:


  • 散度表示了当体积收缩到一个点时,其通量的极限状态。散度运算针对向量,运算结果为标量。在三维空间,散度运算为:

来源:驭风之道
通用控制曲面
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首次发布时间:2023-09-11
最近编辑:1年前
驭风之道
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