一个单元也能干大事之单元刚度初探

本公众号将推出“一个单元也能干大事”系列文章，试图从最小的单元出发，来为初学者讲解一些有限元基本理论。该系列文章力争篇幅短小，简单通俗，深入本质，一看就懂，并且希望能跟读者讨论互动。

一个单元能干什么？今天我们来研究一下四边形等参单元，试图带大家探讨一下它的单元刚度矩阵。来，先跟我一起玩个小游戏，放松一下。

1个单元，4个点，8个位移，4条边，哇

2个单元，8个点，16个位移，8条边，哇哇

3个单元，12个点，24个位移，12条边，哇哇哇……

关于四边形等参单元刚度矩阵的推导，一般有限元教材都有详细的介绍，这里就不再讨论。书看千遍，不如公式推一遍，公式推千遍，不如代码撸一行，我们直接上代码，进行计算。

单元刚度矩阵如下，这是一个8*8的矩阵，我们来研究一下，该单元刚度矩阵的特性。

一、单元刚度矩阵是对称矩阵，即满足Kij=Kji

二、单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素表示力的方向和位移方向一致，故总为正值。

可以看到，矩阵共有八个特征值，其中有三个零特征值。你觉得这是偶然吗？不，冥冥之中自有天数。刚度阵的秩为5，说明刚度矩阵只有5行是线性无关的，需要约束其中的3个自由度，方程Ku=F才能求解。而约束3个自由度，就是为了消除3个刚体位移。

五、我们求一下单元刚度矩阵各行和各列的和，发现他们的值均为零，那么这是偶然吗，还是单元刚度矩阵的特性？这个问题就留给小伙伴们思考一下了。