有限元专场 | 有限元仿真分析误差来源之剪力自锁+沙漏效应

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自我上一篇有限元仿真分析误差来源剖析《有限元仿真分析误差来源之网格划分》，已经过去30多天了，不少朋友在后台留言，是否还会有续集？今天正式告诉大家，我还会继续写下去，欢迎大家继续关注我在仿真秀官网和APP发布的原创文章，真心希望能引发工程师朋友们的共鸣。

而今天，我将继续给大家带来最新撰写的原创文章《有限元仿真分析误差来源之剪力自锁 沙漏效应》。众所周知，有限元分析中单元设置不当会造成计算的误差，其中最常见的就是剪力锁死和沙漏效应。下面我就这剪力自锁和沙漏效应来讨论下有限元仿真分析误差的来源。如有不当，欢迎大家批评指正。

体积力势能：

其中：

看剪应变的绝对值，即。

以上我们讨论了剪力自锁，接下来，我们讨论下有限元仿真过程中经常会遇到的另一个问题-沙漏效应。

1、模态计算

不知道大家在做模态分析时，会不会遇到这样的情况。

还是以前文中悬臂梁的例子，从图中可以看出一阶固有频率只有6.8Hz，这个结果可信吗？我们验证下，固有频率的计算公式如下。

K 是模态刚度， M 是模态质量。

这两个参数好像都不会计算，不着急，先计算刚度。对图中振型进行观察，发现第一阶固有频率是整体表现的起伏。那我们就可以通过挠度来计算，悬臂梁的挠度计算公式，大家没忘吧。

把这个公式变形下，公式如下所示。

那么模态刚度 :

计算得到刚度:

还有质量呢？我们还是观察振型，发现这个振型几乎是整个模型参与的，那么就认为这阶模态质量就是整个模型的质量:

代入公式1中，得到一阶固有频率为 :

这个和仿真的数值差太远，为什么会这样呢？

从单元设置上，我将单元设置为减缩积分的一次单元，会不会跟这个有关呢？

2、减缩积分

上篇文章中讨论了完全积分，这次说下减缩积分。减缩积分比完全积分在每个方向上少用一个积分点，那么减速积分状态下的一次单元和二次单元积分点的分布，如下所示。

这样当单元受弯时，就会产生这样的情况，如下所示。

这样中间的横线，实际上既没有伸长，也没有缩短，所以单元没有产生正应力。此外，横线和竖线的夹角也没有发生变化，所以单元也没有产生剪应力。单元什么应力也没有，所以单元不能承受任何载荷，即刚度为零。这就是沙漏效应。

3、案例演示

把一次单元换成二次单元，在计算下模态。

仿真得到结果为91.2Hz。同理论计算值相比，只有0.6%的误差。

减缩积分的二次单元是不是就不存在沙漏现象呢？如果把网格化的粗一些，计算结果变成如图所示。

一阶固有频率变成0Hz，不光是一阶固有频率，其他阶的也都变成0或者很小的数值，如下所示。

为什么会这样呢？实际上跟单元的长细比有关，如果单元特别细长，积分点就会非常接近，极限情况两条积分线重合在一起。如下所示。

我们看变形后的单元形状，二次单元可以弯曲，那么竖线和横线的夹角是90度，所以单元没有剪应力。单元特别细长，横线基本位于中性层，那么它也不会伸长或缩短，所以没有正应力。那么沙漏效应又产生了。

4、沙漏效应总结

• 在减缩积分情况下，不管是一次单元还是二次单元，都有可能产生沙漏效应。要消除沙漏效应，就要提高网格质量，减小网格的长细比。

• 减缩积分可以有效的排除剪力自锁的影响，不会产生刚度过大的情况。

全文完！