技术讨论】Ansys中一阶、二阶完全积分和减缩积分单元概念、区别及适用范围的讨论
有限元分析的本质是将无限自由度问题转化为有限自由度问题，将连续体模型转化为由有限个单元组成的离散模型。在分析过程中，各种单元类型的节点数目、单元形状、插值函数阶次和单元构造方式都有很大差异，每种单元都有其特定的适用范围，如果单元类型选取的不正确或不恰当，即使最终可以得到收敛的计算结果，这些结果也可能误差较大，甚至是错误的。Ansys经典中用户需要自己选择单元类型和积分方法，而Ansys workbench中则是默认的高阶单元，如结构分析时默认的是Solid 186单元，笔者曾惊讶的发现很多有过多年分析设计经验的工程师，竟然对单元和积分方法的概念不甚了解，因而加强对单元和积分方法概念的理解，针对不同的分析问题选择不同的单元类型和积分方法不仅能有效提高计算时间，也能确保计算精度。下面就简单介绍一下这些概念、区别及适用范围。
（1）线性单元：又称一阶单元，指仅在单元角点处布置节点，且在各方向都采用线性插值。
（2）二次单元：又称二阶单元，不仅在角点处有节点，还在每条边上布置中间节点，且在各方向上采用二次插值。
（3）完全积分：指当单元具有规则形状时，所用的高斯积分点的数目足以对单元刚度矩阵的多项式进行精确积分。对于六面体和四边形单元而言，所谓“规则形状”是指单元的边相交成直角，且任何的节点位于边的中点。
（4）减缩积分：减缩积分单元是指比完全积分在每个方向上少用一个积分点。
（5）线性（或一阶）完全积分单元：因采用线性插值，所以在每个方向上需要两个高斯积分点才能实现精确积分。个人理解相当于在8节点的单元内有一个小的正六面体，高斯积分点就位于这个小正六面体的的8个角点上，即需要2×2×2个积分点。因其积分点位于靠近单元边上的角节点而在中间位置处没有积分点，因而其计算的应力值比较准确（我们最后提取的应力值是节点值而不是积分点值，但是只有积分点值才是精确的，而节点上的值是通过积分点值进行插值和平均得到的），而由于中间没有积分点无法变形，导致线性单元的边不能弯曲，且出现了伪剪应力，意味着产生了剪切变形而不是弯曲变形，单元太过刚硬，从而导致挠度变小了，即“剪切自锁现象”。因而在有弯曲变形的时候不能采用线性减缩单元进行分析，另外，在大变形或位移的时候都不建议采用此单元进行模拟。
（6）二次（或二阶）完全积分单元：因采用二次插值，所以在每个方向上需要三个高斯积分点才能实现精确积分。个人理解相当于在一个小的正六面体内包括中间点在内共有27个高斯积分点，即3×3×3个积分点。二阶完全积分单元的三个积分点则分别离单元边上的角节点及中间节点很近，因而其计算应力值同样比较准确，但因其有中间节点和中间积分点，因而一般不会出现剪切自锁现象，且在中间处可以变形，因而可以模拟变形问题，但较二阶减缩积分单元差，因而也不推荐使用。另外，如果在复杂的应力状态下，也可能出现剪切自锁现象。但是，由于其计算应力值比较准确，因而对于求解局部应力集中问题时，此单元计算结果非常准确。
（7）线性（或一阶）减缩积分单元：少一个积分点，即在每个方向上有一个高斯积分点，此积分点位于单元的中心位置，离单元角节点较远，由于在单元中心的积分点上计算的应力值很精确，但经过插值和平均后得到的单元角节点上的应力值就不准确了，因而不建议用于应力值的计算。另外，在这个积分点上所有的应力分量全部为零，即没有产生应变能，是一个零能量模式，不具备刚度，因而不能抵抗变形，太过柔软，在粗网格中，这种零能量模式会通过网格扩展出去，产生毫无意义的结果，此即“沙漏现象”。沙漏模式可通过划分合理且足够细的网格来限制，如划分多层网格时，线性减缩积分单元在变形方面会计算出一个可以接受且较合理的结果。因而，在模拟大变形或接触分析时采用此单元模拟效果最佳。
（8）二次（或二阶）减缩积分单元：少一个积分点，即在每个方向上有两个高斯积分点共8个，分别位于角节点与中间节点的中心位置。同一阶减缩积分单元也存在沙漏现象，比较柔软，但其在正常网格中不会扩展出去，并且在网格足够细时基本不会造成问题，因而可以模拟小变形问题。在应力值计算方面因少一个积分点因而比二阶完全积分单元精度低，但可以得到较为准确的应力值；而变形计算问题上，比线性减缩积分单元多一个积分点，刚度比线性减缩积分单元大，不适用于模拟大变形和接触分析，但在计算小位移方面结果比较精确。因而，二阶减缩积分单元是应力/位移模拟的最佳选择。
综上所述，可知：
（1）完全积分单元（无论线性或二阶）计算的应力值是比较精确的；而由于单元边的刚硬无法模拟变形；
（2）减缩积分单元（无论线性或二阶）则在模拟变形位移方面比较准确，线性单元适用于计算大变形和接触分析，二阶单元适用于模拟小位移。
因而：
（1）线性完全积分单元容易出现剪切自锁和体积自锁问题，一般情况下尽量不要使用；
（2）如果存在应力集中，需要计算较为精确的应力值时，则建议采用二阶完全积分单元，它可以计算出应力梯度最精确的结果；
（3）二阶减缩积分单元既可较为精确的计算应力值，又可较为准确的模拟小变形问题，因而是应力/位移模拟的最佳选择；
（4）如需模拟大变形或接触分析时，则采用线性减缩积分单元时最好的选择，但需划分较细的网格避免沙漏现象，在厚度方向至少应采用四个单元；
（5）尽可能得减少网格形状的扭歪，形状扭歪的粗网格线性单元会导致非常差的结果；
（6）在做静力结构分析的时候建议采用二阶完全积分单元，而在做非线性分析及接触分析的时候建议采用线性减缩积分单元。
