极限载荷分析-你想知道的也许在这里能找到些许答案

解决塑性力学问题的两种方法

1.【弹塑性分析法】：详细研究塑性变形随载荷增加而逐渐发展的全部过程，在加载每一时刻，了解物体内所有点的应力、应变和位移，确定弹性区与塑性区之间的界限，应力与变形在卸掉一部分或全部载荷后以及重复加载时的变化规律。

2.【极限载荷分析法】：在加载过程中，结构中的高应力区首先进入塑性，当载荷继续增加时塑性区便不断扩大，同时还出现应力重分布现象。当载荷增大到某一极限值时，由理想塑性材料制成的结构将变成不稳定的几何可变机构（垮塌机构），从而丧失承载能力，出现不可限制的塑性流动，此时载荷不变但应变能无限增加，这种状态称为塑性极限状态，相应的载荷称为“极限载荷”。

两种方法的区别

1）本构模型：弹塑性分析采用的本构模型是采用材料的真实应力应变曲线，考虑了材料的应变硬化特性；而极限载荷分析采用的本构模型是理想弹塑性模型（用于数值求解，如有限元法）或理想刚塑性模型（用于解析求解，忽略弹性变形阶段，只考虑塑性变形阶段，便于简化偏微分方程进行采用解析法求解），理想弹塑性模型和理想刚塑性均不考虑材料的应变硬化特性采用这两种模型求出的极限载荷理论上是相同的。

2）变形理论：两者都是非线性分析，弹塑性分析采用大变形理论，在求解过程中力的平衡方程和刚度矩阵不断变化和更新，求解过程和时间更加复杂和耗时；而极限载荷分析采用小变形理论，不涉及力平衡方程和刚度矩阵的变化，相较于弹塑性分析求解简单一些。

3）加载历程：弹塑性分析研究的是整个变形过程中加载的每一时刻物体内所有点的应力、应变和位移，变形过程涉及弹性区、塑性区、弹塑性 交界区；而极限载荷分析采用工程简化方法，不关心整个变形过程、加载历史，只关心结构在极限状态下的承载能力。

4）对应的失效准则：弹塑性分析适用于反复加载、卸载的情况，对应于弹塑性失效准则；而极限载荷分析适用于一次加载情况，对应于塑性失效准则。

目前，行业内一直在用的分析设计方法其实是弹性名义应力分类法，即采用胡克定律本构模型，应力与应变始终呈线性关系，不涉及到塑性变形阶段，在真实材料的弹性变形阶段求解出的应力是真实的应力，而当超过屈服强度后求解出的应力则是非真实应力，将其称为弹性名义应力，然后结合塑性理论制定了一套原理对弹性名义应力进行分类和不同安全系数的控制。这种方法看上去有些牵强，但多年实践表明，这是一种易于实现、行之有效且安全可靠的方法。除过普遍采用的上述方法外，ASME标准规定，允许直接采用塑性应力计算或极限载荷分析的方法，欧盟标准中也推荐采用极限载荷分析法来对施加的外载荷进行一定的控制，塑性分析方法是最直接的方法，但目前在行业内还未普及，此次国内JB/T4732标准的修订工作中已确定引用ASME的塑性力学分析方法，将来采用直接的极限载荷分析或弹塑性分析方法势必会成为行业分析设计发展的一个趋势。  

结构参数和有限元模型

极限载荷分析是非线性分析求解时间耗费较长，故本文仅以一简单模型（某高压设备下球形封头上开孔接管结构）介绍一下极限载荷分析在WB中的实现和求解，希望能抛砖引玉。设备材料：12Cr2Mo1VR，设计条件：设计压力18.0 MPa，设计温度480℃。球形封头内半径为SR2440mm，壁厚为170mm；封头上接管外径为1163mm，内径为763mm，外壁倒角为100mm，内壁倒角为50mm；侧向接管外径为347mm，内径为217mm，外壁倒角为50mm，内壁倒角为20mm；采用1/2对称模型，单元选择为Solid185增强应变单元，划分全六面体网格，划分单元数为50764，网格节点数为58653，网格平均质量为67.8%，在重点关注区域细化网格，而非重要区域粗化网格，在不影响计算精度的前提下提供求解速度。

本构模型

如前所述，采用理想弹塑性模型，软件中采用双线性等向强化模型，定义屈服强度和切线模量，可参考：如下图示：

需注意两点：

1）有资料中采用的是双线性等向强化模型（BISO），而有的资料中则采用的是双线性随动强化模型（BKIN），这两种模型的选择在极限载荷分析的单向加载中其实是等效的。

2）采用极限载荷分析时，需注意屈服强度的输入，ASME新版规定理想塑性材料模型中的屈服强度取为1.5Sm（是材料在设计温度下的许用应力或应力强度，以控制那些‍屈服限较高的高强材料），而不是标准中直接查出的屈服强度值。

载荷施加

载荷条件为：当设计压力为18.0MPa时，通过计算在球形封头接管的表面施加均匀等效压力为13.60MPa，在侧向接管的端面施加均匀等效压力为11.56MPa；边界条件为：在球形封头的端面上限制环向约束和垂直方向的约束。

球形封头上接管等效压力=7632×18.0/（11632-7632）=13.60MPa

侧向接管等效压力=2172×18.0/（3472-2172）=11.56MPa

注意：当需要确定极限载荷值时，需要将上述载荷条件同比例增加，以得出较为精确的载荷-位移曲线，进而确定极限载荷值；同样，当采用载荷阻力系数法时，也要将载荷系数同比例乘以上述载荷条件进行计算。

‍ASME-Ⅷ-2新老版本评定准则

ASME-Ⅷ-2老版本对极限载荷的评定准则是: 若结构的规定设计载荷不超过极限载荷的2/3，则设计是可行的。老版本中同时规定：根据试验或数值计算的结果绘制载荷-最大位移（或最大应变）曲线，然后用两倍弹性斜率法来确定极限载荷。这样确定的“极限载荷”实际上是真实极限载荷的一个保守程度较大的下限近似值。另外，欧盟标准采用双切线相交法，还有国内清华大学提出的零曲率法，但上述方法一方面受人为因素比较大，一方面精度判定极限载荷误差较大。

ASME-Ⅷ-2新版本中定义：“极限载荷是导致总体结构不稳定的载荷。这表现为对小的载荷增量不能求得平衡解（即解将不收敛）”。与两倍弹性斜率法相比，这是对极限载荷更为准确的定义，精确计算和判定极限载荷的过程还比较复杂。为了避免先要精确计算极限载荷的麻烦，参照美国土木工程规范ASCE7-05的做法，ASME-Ⅷ-2新版在评定时引进了“载荷与抗力系数设计（LRFD）”的概念。该方法将安全系数（考虑可能出现的各种不确定性的设计系数）乘到载荷上（详见ASME规范的表5. 4），然后用经过该系数放大后的载荷对结构加载，进行极限载荷分析。只要对表5. 4中规定的所有载荷情况组合，当载荷达到表中规定值时计算都能收敛，就说明这些施加了安全系数的载荷都小于极限载荷，评定可以通过。若计算发散，先检查一下是否是数值发散，若否，则应修改设计方案。

有限元数值法中极限载荷的确定

由上述ASME新老版本评判准则的区别可看出，老版本是采用两倍弹性斜率法确定极限载荷（欧盟采用双切线相交法），并将允许的设计载荷限制在2/3极限载荷以内，不管是采用两倍弹性斜率法还是双切线相交法，首要条件就要通过有限元求解得到载荷-位移曲线，而恰恰难点就在于如何确定这条载荷-位移曲线，想要确定极限载荷，那么施加的载荷必定需超过极限载荷值，超过极限载荷值必定会出现塑性垮塌，那么计算结果必定是不收敛的。而新版本不需要直接去确定极限载荷值，只需将不同的载荷按同比例给定上述的载荷系数后施加，然后通过计算结构是否收敛来判定结构是否达到极限状态。一种需要通过计算非收敛性得到载荷-位移曲线进而确定极限载荷，一种只需按给定载荷计算即可，收敛则通过，不收敛则不通过。两种方法在工程实际中哪种更容易实现和操作便一目了然，比如按载荷阻力系数法在1.5倍载荷系数工况下，计算结果如下图。

(a) 内压为27Mpa

‍由上图可看出，等效应力计算结果为244.8Mpa，而本构模型中定义的屈服强度为235.5Mpa，等效应力计算结果已超过屈服强度，按本构模型设置来说，原则上计算出来的应力是不应该超过屈服强度的，但此处虽然超过屈服强度了，但总体来说与屈服强度相差很小，计算应力值比较大是因为有限元软件计算的精确值是在高斯积分点上，而通过外插值后推到网格节点上的节点值势必会有一些差距。另外，从应变图上可看出，此时接管根部内壁已开始出现部分塑性变形，同时由载荷-位移曲线也可看出，与最开始的弹性阶段的斜率相比明显减小，进一步表明已出现较明显的塑性变形，但此工况下有限元计算结果仍收敛。故按ASME载荷阻力系数法的评判准则，此工况下评定是通过的。

为了进一步比较说明，笔者分别进行了多种载荷工况下的计算，内压分别为9Mpa，18Mpa，27Mpa，36Mpa，同时接管等效应力也需按同比例增加，计算结果如下：

(b) 内压为9Mpa

(c) 内压为18Mpa

‍由上述计算结果分析表明：当内压为9Mpa时（图b），最大等效应力计算结果为133.33Mpa，远小于屈服强度235.5 Mpa，此时结构塑性应变为0，即无塑性变形的产生，表明此时结构仍处于弹性应变阶段，由载荷-位移曲线也可看出，载荷曲线为一斜率不变的线性直线段；当内压达到18 Mpa时（图c），最大等效应力计算结果为240.49Mpa，已大于屈服强度235.5 Mpa，此时结构最大塑性应变为0.00013787mm，出现在封头上接管根部内表面位置，表明此时结构已开始进入塑性变形阶段，塑性变形极小，载荷位移曲线其实已开始出现斜率的变化，但极小近似与弹性阶段斜率相同，故载荷-位移曲线表面上看近似为一斜率不变的线性直线段，其实斜率已开始减小；当内压增大到27Mpa时（图a），最大等效应力计算结果为244.8Mpa，最大塑性应变为0.001418mm，比压力为18Mpa时应变值增大了10倍多，此时接管根部和局部封头位置已完全进入塑性状态且整个封头内壁已进入塑性变形，同时由载荷-位移曲线已可明显看出，曲线斜率开始减小，已开始进入明显的塑性变形阶段。上面三组工况下，计算结果均收敛，且随压力增大，从弹性变形阶段开始进入塑性变形阶段，收敛时的等效应力分别为240.49Mpa和244.8Mpa，均接近于所定义的屈服强度，有限元计算值的差别还在于前述插值计算显示的网格节点的计算值导致的。

当内压增大到36Mpa时（下图d），最大等效应力计算结果为292.18Mpa，远超过屈服强度235.5Mpa，最大塑性应变值已达到1.0232mm，很明显此时软件中计算和显示的值是完全不正确的，因为此时计算已无法收敛，因而应力和应变云图上显示的计算值已不具备任何物理意义且不具备任何参考价值。经过很多次迭代计算后，载荷-位移曲线显示如下，此时可看出曲线分为很明显的两个阶段，前面为弹性变形阶段，后面为塑性变形阶段，与我们设置的本构模型相符合，且塑性变形阶段的曲线斜率已极小且趋近于水平线，表明此时施加的内压36Mpa，已超过了极限载荷值，结构已经出现了塑性垮塌。

(d) 内压为36Mpa

‍ASME老版本的评定准则就是首先要得到上述载荷-位移曲线，有了这条曲线之后便可按ASME两倍弹性斜率法或欧盟双切线相交法确定极限载荷值，然后将允许载荷限制在2/3极限载荷以内。

另外，需要特别注意的两点是：

1）不能将数值发散误认为是不收敛，因为进入塑性变形阶段的有限元计算，不收敛还有可能由于增量步设置过大等等其它原因导致的，不能误将数值发散的载荷值当成已达到极限载荷值；

2）极限载荷分析法属于一次加载情况，未考虑循环加载的安定情况，故其评定仅可代替弹性名义应力分类法中的Pm≤Sm，PL≤1.5Sm，PL+Pb≤1.5Sm，但不能代替PL+Pb+Q≤3Sm的评定。

综上，不难看出采用载荷与阻力系数法的评定准则远比确定极限载荷的方法在工程实际上更易于操作和实现，载荷阻力系数法或许以后在工程上会得到更为广泛的推广和应用。