默认被忽视的问题却往往最可能成为致命问题—论单元选择的重要性！

[线性单元]：又称一阶单元，指仅在单元角点处布置节点，且在各方向都采用线性插值。

[二次单元]：又称二阶单元，不仅在角点处有节点，还在每条边上布置中间节点，且在各方向上采用二次插值。

[完全积分]：指当单元具有规则形状时，所用的高斯积分点的数目足以对单元刚度矩阵的多项式进行精确积分。对于六面体和四边形单元而言，所谓“规则形状”是指单元的边相交成直角，且任何的节点位于边的中点。

[减缩积分]：减缩积分单元是指比完全积分在每个方向上少用一个积分点。

一阶和二阶单元的选择决定什么？

简单来说，一阶和二阶单元的选择直接决定网格节点的多少，进而直接决定位移解和应力解计算的准确性和计算时间，因为有限元求解采用的是基于虚功原理的位移法，在角节点上计算的位移是足够精确的，而在单元内部节点位移则是采用位移插值形函数来求解位移的进而通过几何方程求解应变，再通过物理方程求解应力。而不同的单元则具有不同的网格节点和位移插值形函数，所以最终决定着位移解和应力解得精确度。

完全积分和减缩积分单元的选择决定什么？

简单来说，完全积分和减缩积分单元的选择则直接决定高斯积分点的数目和积分方式，对于无法采用位移法求解的应力，则是通过高斯积分点处的积分来进行应力求解的，所以在高斯积分点处的计算出来的应力解一般是比较精确的，而在网格节点处的应力则是通过高斯积分点处的应力值线性插值平均或复 制过来的，而在有限元软件中显示的则是网格节点的应力值，因而应力值会不够精确，但完全积分和减缩积分的选择对位移解的计算则没有影响，所以我们会看到在做有限元分析时完全积分或减缩单元的选择对位移解的计算影响很小，但对应力解的计算影响很大。

上述四种单元进行组合成下述四种单元选择方式，每一种单元的选择都会影响到计算结果，组合后的单元形式既影响到计算精度又影响到计算效率，灵活把握单元组合形式，做到知己知彼方可百战不殆。

[线性（或一阶）完全积分单元]：因采用线性插值，所以在每个方向上需要两个高斯积分点才能实现精确积分。个人理解相当于在8节点的单元内有一个小的正六面体，高斯积分点就位于这个小正六面体的的8个角点上，即需要2×2×2个积分点。因其积分点位于靠近单元边上的角节点而在中间位置处没有积分点，因而其计算的应力值比较准确（我们最后提取的应力值是节点值而不是积分点值，但是只有积分点值才是精确的，而节点上的值是通过积分点值进行插值和平均得到的），而由于中间没有积分点无法变形，导致线性单元的边不能弯曲，且出现了伪剪应力，意味着产生了剪切变形而不是弯曲变形，单元太过刚硬，从而导致挠度变小了，即“剪切自锁现象”。因而在有弯曲变形的时候不能采用线性减缩单元进行分析，另外，在大变形或位移的时候都不建议采用此单元进行模拟。

[二次（或二阶）完全积分单元]：因采用二次插值，所以在每个方向上需要三个高斯积分点才能实现精确积分。个人理解相当于在一个小的正六面体内包括中间点在内共有27个高斯积分点，即3×3×3个积分点。二阶完全积分单元的三个积分点则分别离单元边上的角节点及中间节点很近，因而其计算应力值同样比较准确，但因其有中间节点和中间积分点，因而一般不会出现剪切自锁现象，且在中间处可以变形，因而可以模拟变形问题，但较二阶减缩积分单元差，因而也不推荐使用。另外，如果在复杂的应力状态下，也可能出现剪切自锁现象。但是，由于其计算应力值比较准确，因而对于求解局部应力集中问题时，此单元计算结果非常准确。

[线性（或一阶）减缩积分单元]：少一个积分点，即在每个方向上有一个高斯积分点，此积分点位于单元的中心位置，离单元角节点较远，由于在单元中心的积分点上计算的应力值很精确，但经过插值和平均后得到的单元角节点上的应力值就不准确了，因而不建议用于应力值的计算。另外，在这个积分点上所有的应力分量全部为零，即没有产生应变能，是一个零能量模式，不具备刚度，因而不能抵抗变形，太过柔软，在粗网格中，这种零能量模式会通过网格扩展出去，产生毫无意义的结果，此即“沙漏现象”。沙漏模式可通过划分合理且足够细的网格来限制，如划分多层网格时，线性减缩积分单元在变形方面会计算出一个可以接受且较合理的结果。因而，在模拟大变形或接触分析时采用此单元模拟效果最佳。

[二次（或二阶）减缩积分单元]：少一个积分点，即在每个方向上有两个高斯积分点共8个，分别位于角节点与中间节点的中心位置。同一阶减缩积分单元也存在沙漏现象，比较柔软，但其在正常网格中不会扩展出去，并且在网格足够细时基本不会造成问题，因而可以模拟小变形问题。在应力值计算方面因少一个积分点因而比二阶完全积分单元精度低，但可以得到较为准确的应力值；而变形计算问题上，比线性减缩积分单元多一个积分点，刚度比线性减缩积分单元大，不适用于模拟大变形和接触分析，但在计算小位移方面结果比较精确。因而，二阶减缩积分单元是应力/位移模拟的最佳选择。

综上所述，可知：

1 完全积分单元（无论线性或二阶）计算的应力值是比较精确的；而由于单元边的刚硬无法模拟变形；

2 减缩积分单元（无论线性或二阶）则在模拟变形位移方面比较准确，线性单元适用于计算大变形和接触分析，二阶单元适用于模拟小位移。

因而：

（1）线性完全积分单元容易出现剪切自锁和体积自锁问题，一般情况下尽量不要使用；
（2）如果存在应力集中，需要计算较为精确的应力值时，则建议采用二阶完全积分单元，它可以计算出应力梯度最精确的结果；

（3）二阶减缩积分单元既可较为精确的计算应力值，又可较为准确的模拟小变形问题，因而是应力/位移模拟的最佳选择；

（4）如需模拟大变形或接触分析时，则采用线性减缩积分单元时最好的选择，但需划分较细的网格避免沙漏现象，在厚度方向至少应采用四个单元；

（5）尽可能得减少网格形状的扭歪，形状扭歪的粗网格线性单元会导致非常差的结果；
（6）在做静力结构分析的时候建议采用二阶完全积分单元，而在做非线性分析及接触分析的时候建议采用线性减缩积分单元。

以上内容仅是对常用分析单元的简单性的概念和应用介绍，仅是单元介绍的一隅，实际上这地方的内容博大精深，深入了解需要结合有限元理论和软件进行深入探究和验证，以上内容仅供参考，限于笔者水平有限，难免有不当之处，还请不吝批评指正！