五种极限载荷分析评定方法的对比和结果探讨
自2002年以来欧盟EN13445标准和美国ASME Ⅷ-2标准相继推出了基于弹塑性分析的直接法：极限载荷分析法和弹塑性应力分析法。极限载荷分析法在评定准则和结果的准确性方面优于应力分类法，在工程应用的可操作性和效率性方面则优于弹塑性分析法。但该法也存在先天性缺点：即只适用于一次加载的工况，而无法考虑多次或循环加载工况下结构安定性的失效模式。基于上述优缺点，极限载荷分析法虽在行业内已逐渐开始得到认可并有所应用，但更多的则是作为弥补应力分类法缺陷的一种辅助验证方法。目前，我国JB4732标准修订版中已征求意见并将正式引进极限载荷分析法和弹塑性分析法，同时规定了载荷系数法和塑性垮塌载荷法两种防止塑性垮塌失效模式的评定方法。随着新标准的正式实施以及设计人员对塑性分析法理论知识和有限元软件应用技术的提高，极限载荷分析法势必会在压力容器行业内得到更为广泛的认可和工程应用。本文基于之前公 众号文章中的计算模型进一步探讨了五种极限载荷分析评定方法的优缺点。以下仅代表个人观点，限于笔者理论水平和工程经验有限，如有不当之处，还请不吝批评指正。
根据ASME Ⅷ-2新标准和JB4732标准征求意见稿中关于载荷工况的规定，本模型需要按工况1.5P=27Mpa（P=18Mpa,为设计压力）的总体准则进行极限载荷分析和评定以防止结构发生塑性垮塌，合格的评定标准是：若载荷加载到27Mpa时，有限元计算能够收敛则评定通过，相反则不通过。
由上图可看出：内压为27Mpa时，结构最大等效应力值为243.89Mpa，等效塑性应变为0.0016174mm，此时结构塑性变形由接管根部内表面已经扩展到外表面，整个接管根部较大区域内均已达到屈服极限并进入塑性变形阶段，载荷-位移曲线斜率也已明显出现减小趋势，球形封头内表面应力虽然也比较大但还未达到屈服强度因而并未发生塑性变形。基于上述计算结果是收敛的，因而按载荷系数法对极限载荷分析的评定标准是合格的，即该结构不会发生塑性垮塌。虽然此时整个接管根部均已达到屈服强度进入塑性变形阶段，但塑性变形仍较小不足以使接管根部形成塑性铰，故该结构仍具备一定的承载能力而不会发生塑性垮塌。
塑性垮塌载荷法是基于ASME Ⅷ-2新标准中关于极限载荷分析的定义而确定的：即极限载荷是导致总体结构不稳定的载荷，表现为对小的载荷增量不能求得平衡解（即解不收敛）。有一种判断是否达到极限载荷的数值处理方法，即根据载荷-位移曲线进行判定：若该曲线在趋于水平阶段的斜率小于弹性斜率的1/100，则可判定已达到极限载荷；若该曲线在斜率较大时不能收敛，则属于数值发散。本模型在计算内压2.0P=36Mpa时设置分析步时间为1s，初始载荷增量步为1e-2s，最小载荷增量步为5e-3s，根据上述判定方法并结合下图的载荷-位移曲线可判定此时不收敛是因为载荷值已超过极限载荷导致结构发生塑性垮塌而并非数值发散，且计算结果表明在载荷增量步时间为0.8225s时有限远计算结果收敛，但达到0.8275s时计算已不收敛（即发生塑性垮塌），因而可初步判定在上述载荷增量步设置条件的计算精度下极限载荷值介于0.8225~0.8275s之间所施加的载荷值（29.61 ~29.79Mpa）。但载荷增量步设置的不同对计算收敛精度有一定的影响，为进一步确定极限载荷值，将初始载荷增量步和最小载荷增量步进一步减小，有限元计算在经过累计207次迭代后不收敛，此时计算结果表明极限载荷值大致介于0.82375~0.82625s之间所施加的载荷值（29.655 ~29.745Mpa），结合两个区间范围值取二者共有的最大值29.745Mpa确定为极限载荷值。
为进一步验证，以内压为29.745Mp进行计算结果显示如下图：在内压为29.745Mpa时经过236次迭代有限元计算结果收敛，最大等效应力值为243.65Mpa，最大等效塑性应变为0.13854mm，较内压为27Mpa时增大了约85倍，且已从接管根部内表面转移到外表面，充分表明整个接管根部已完全屈服并形成一个塑性铰进而导致结构发生塑性垮塌（如下图放大倍数后的应变图）。同时也表明取此值作为极限载荷值是合适的，但此值也并非十分精确的极限载荷值点，真正的极限载荷值可能仍大于29.745Mpa，只是可判断出误差已经极小了。综合上述分析也不难发现，通过有限元数值算法只能判定极限载荷值所在的大致区间，可通过多次减小载荷增量步时间（即增加载荷增量步数）来进一步缩小极限载荷值所在的区间范围，得到更为精确的极限载荷值，进一步缩小误差，只能一步步逼近精确值，而无法十分精确的得出确切的极限载荷值点。但是，减小载荷增量步时间所带来的一个问题是导致求解时间会大大增加，因而在工程应用中需在求解精度和计算效率上做适当平衡。基于本文计算结果，将此结构的极限载荷值确定为29.745Mpa是偏保守的且可判断误差已极小，完全满足工程精度要求。
两倍弹性斜率法是ASME Ⅷ-2老版本标准中确定极限载荷的方法，该法以载荷-位移曲线原点为起始点，作出弹性阶段的弹性斜率直线，然后作另一条直线满足其斜率等于两倍的弹性斜率，该直线与载荷-位移曲线的交点投射到纵坐标上的载荷值即为极限载荷值（如下图所示）。
由上图可知：本模型基于减小载荷增量步后较为精确的载荷-位移曲线并采用两倍弹性斜率法确定的极限载荷值约为28.951Mpa，此方法是一种人为的规定且受人为因素影响较大，所确定的极限载荷值分散性和误差可能会比较大，是真实极限载荷一个保守程度较大的下限近似值。
双切线相交法是欧盟标准EN-13445中确定极限载荷的方法，该法同样基于载荷-位移曲线，分别作出弹性阶段和塑性阶段的切线，两切线相交点投射到纵坐标上的载荷值即为极限载荷值（如下图所示）。
由上图可知：本模型基于减小载荷增量步后较为精确的载荷-位移曲线并采用双切线相交法确定的极限载荷值约为29.372Mpa，此方法完全由曲线本身决定，相较于两倍弹性斜率法受人为因素影响较小，但问题在于塑性阶段切线斜率不易定准（弹性阶段较为精确），稍有变化便会影响到极限载荷值，同样精度难以保证。
零曲率法最先由我国清华大学提出但并未列于我国相关标准中，该法同样基于载荷-位移曲线并考虑材料硬化效应与大变形的影响，提出用载荷-位移曲线的零曲率点来进行极限载荷的确定，指出此点是形成塑性铰并开始显著塑性变形的特征点，能反映出进入显著塑性变形的现象且与该点处的局部性质无关（如下图所示）。
由上图可知：本模型基于减小载荷增量步后较为精确的载荷-位移曲线并采用零曲率法确定的极限载荷值约为29.456Mpa，此方法同样由曲线本身决定且受人为因素影响较小，但相较于两倍弹性斜率法和双切线相交法更具有优越性。
基于本模型对极限载荷有限元分析进行极限载荷值确认和评定方法的论述可知，各种方法均有其理论基础、评定准则以及优缺点，将其汇总进行对比讨论如下表所示。
由上述对比分析不难看出：
（1）载荷系数法不需要确定极限载荷值，乘以载荷系数后有限元计算结果收敛即为合格，在工程应用中最易于操作和实现，其余四种方法均需首先确定极限载荷值，然后除以1.5倍的安全系数确定许用载荷，设计载荷小于等于许用载荷则评定合格。
（2）通过ANSYS并不能极为精确的确定极限载荷值点，本模型中设置了不同的载荷步求解得到两个极限载荷区间，取两区间内共有值作为极限载荷值，精度可以得到一定的保证，若想确定更为精确的载荷值则需减小载荷增量步，缩小误差步步逼近精确值，但要耗费很大的计算成本。工程应用中，需平衡求解精度和计算效率，控制误差在工程许可范围内即可。
（3）在极限载荷值确定精度方面，塑性垮塌载荷法精确度可达到最高，零曲率法次之，双切线相交法受塑性阶段切线不易定准的影响在可接受范围内，两倍弹性斜率法易受人为因素影响，精度最差而最为保守。
（4）随着JB4732新标准的修订和正式实施，极限载荷分析的操作和评定方法将在国内标准规范内有据可循，载荷系数法和塑性垮塌载荷法在行业内必定得到进一步的认可和新一轮的广泛应用。
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