算例丨圆盘类零件的振动模态与动态响应有限元分析
本文利用大型通用有限元软件Abaqus对一空心圆盘进行了旋转模拟，模态分析和瞬时模态动态分析，提取了其固有频率及振型，讨论其在受动态载荷下的应力、位移随时间的变化情况。为进一步研究圆盘类零件的力学性能及提高其稳定性奠定了基础。 回转圆盘类结构在航空、航天及现代机械工业中有着广泛的应用。例如圆锯片、锯片式铣刀、砂轮片等，这些零件在材料的切削中起着非常重要的作用。随着原材料资源的匮乏，对圆盘零件刀具在切削加工中材料的损失提出了较高要求。在计算机领域，随着现代化工业的不断发展，人们对计算机的依赖程度日益加深，不断地对计算机的运行速度、存储量、稳定性和噪声等方面提出更高的要求，而这些方面都与计算机的回转硬盘有关。因而对回转圆盘零件的稳定性研究有着重要的现实意义。[1~3]有限元法（Finite Element Method, FEM）是结构分析中最有效的一种数值分析方法。随着计算机图形技术、仿真技术的不断提高，越来越多的有限元分析软件应运而生。Abaqus是一款优秀的非线性有限元软件，可以分析复杂的结构力学系统，尤其能够驾驭非常庞大复杂的问题和模拟高度非线性问题。[4]本文就将利用Abaqus对圆盘零件进行分析。这里给出一个空心圆盘的例子。[5]令圆盘外径为1000mm，内径为140mm，均匀厚度为0.8mm。材料的弹性模量为E=210000MPa，泊松比为 
，密度为 
。本文将首先通过对圆盘进行旋转仿真模拟，得出连接单元的相对平移和旋转及连接单元的反作用力和力矩。然后对其进行模态分析，得到圆盘结构的振型和固有频率。最后，利用提取到的圆盘频率，对其进行动态响应分析，得出圆盘在振动过程中出现的最大应力，以及圆盘顶部的位移随时间的变化情况。当弹性体的几个形状、约束情况以及所受外力都对称于某一轴线时，也就是通过该轴的任何平面无论对形状、约束以及外力来说都是对称面，则所有的应力、应变和位移也就都对称于该轴，这类型的问题称为轴对称问题，本章讨论的回转圆盘问题就属于此类问题。为模拟圆盘旋转，在其一端装一个半径为70mm、长度为700mm的轴（如图1所示）。圆盘绕轴转动，使圆盘顶部上一点全局坐标系的某方向上移动200mm。假设圆盘和轴都是刚体。刚体部件可以通过直接创建解析刚体和离散刚体来实现，也可通过创建柔体，再创建刚体约束的方法实现。前者建模简单，模型规模小，后者通过去掉刚体约束即可使部件恢复柔体，后续进一步分析更加灵活，适应性强。本例采用后一种方法，即将圆盘和轴都定义为柔体后施加刚体约束。由于整个模型中的运动只是圆盘绕轴的转动，因此在圆盘和轴之间使用HINGE类型的连接单元，连接点分别为轴端中心点与圆盘中心点。圆盘采用S4R单元（4节点四边形有限薄膜应变线性减缩积分壳单元）划分网格，轴采用C3D8R单元（8节点六面体线性减缩积分单元）划分网格（图1）。[1]整个过程不施加外载荷。图1 圆盘旋转模拟建模及网格划分
分析结果可查看圆盘旋转模拟动画，并可得到各时刻圆盘各点位移情况，如图2所示。
此外，还可得到连接单元上的反作用力CRF1，CRF2，CRF3（图3），和反作用力矩CRM1,CRN2,CRM3（图4）。
图3 连接单元上的反作用力CRF1，CRF2，CRF3
图4 连接单元上的反作用力矩CRM1,CRN2,CRM3由于模型上并没有施加载荷，因此连接单元的反作用力和反作用力矩都应近似等于0。如图所示，反作用力的数量级为10-6，反作用力矩为零，与分析结果相同。静力分析适于模拟结构承受载荷后的长期相应，而回旋圆盘类结构零件在工作过程中不可避免地会受到动载荷的作用，并因此产生振动，振动能够形成结构共振或材料疲劳而使结构不能正常工作，所以有必要了解圆盘结构的振动特性。固有频率与振型是结构振动特性的重要参数，它们对机械结构的使用寿命与工作安全性有很大影响。了解机械结构的振动特性可以采用模态分析方法，其计算结果能够得到结构的固有频率与振型。本例只考虑圆盘的模态分析，故去掉连接轴，圆盘中心孔边缘固定。提取结构的固有频率及相应的主振型为模态分析的目的，求解结构振动特征方程的特征值与特征向量是其实质问题。式中：M为质量矩阵，C为阻尼矩阵，K为刚度矩阵，u为位移向量，F(t)为作用力向量，t为时间。若 
，则为无阻尼的自由振动，其方程为模态分析即为求解此方程的特征值 
及其对应的特征向量 
，自由度总数为 
的取值区间。[6]Abaqus提供两种特征值提取方法：Lanczos方法和子空间迭代法。Lanczos在大规模模型和需提取多阶振型时计算速度更快；而子空间迭代法更适用于提取少于20阶的振型。本文要对圆盘的前30阶固有频率和振型进行分析，故选用Lanczos方法。关于振型阶数的选取，主要是为了保证在模型主要运动方向上的总有效质量要超过模型中可运动质量的90%。该结果可在模态分析结束后进行检验。图5为所建用于模态分析和响应分析的圆盘模型，圆孔边缘固定，依旧采用S4R单元为圆盘划分网格。
分析得到圆盘的前30阶振型的位移云图，表1所示为得到的部分位移云图。表1 部分阶振型对应位移云图
阶数 | 1 | 2 | 3 |
位移云纹图 | 
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| 
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阶数 | 4 | 10 | 15 |
位移云纹图 | 
| 
| 
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阶数 | 20 | 25 | 30 |
位移云纹图 | 
| 
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|
频率提取分析所得到的节点位移是经过单位化的，故输出的位移云纹图的最大的位移都是1。上表中结果主要用于对各阶振型的相互比较，并不具有实际的物理意义。表2 各阶振型的特征值
特征值输出 |
阶次 | 特征值 | 固有频率 | 广义质量 | 复合模态阻尼 |
(RAD/TIME) | (CYCLES/TIME) |
1 | 406.47 | 20.161 | 3.2088 | 9.68199E-04 | 0.0000 |
2 | 406.51 | 20.162 | 3.2088 | 9.66779E-04 | 0.0000 |
3 | 529.71 | 23.015 | 3.6630 | 1.97919E-03 | 0.0000 |
4 | 886.57 | 29.775 | 4.7389 | 8.64501E-04 | 0.0000 |
5 | 886.57 | 29.775 | 4.7389 | 8.65116E-04 | 0.0000 |
...... |
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30 | 2.55768E+05 | 505.74 | 80.490 | 6.73852E-4 | 0.0000 |
可以看出，所提取的最高频率为80.490Hz。表格中的广义质量表示的是对应于该阶振型的单自由度系统的质量。此外，分析结果还可分别得到参与系数和有效质量，如表3和表4所示。该参与系数反映了该阶振型在哪个自由度上起主导作用。可以看出，第3阶振型主要在Z方向起作用。而有效质量反映了该阶振型在各个自由度上所激活的质量。其中，在Z方向上具有显著质量的最低阶振型同样为第3阶。
表3 各阶振型的参与系数
表4 各阶振型的有效质量
表5 模型的总质量
本例中，圆盘的主要运动方向是垂直于圆盘面的方向，即Z方向。从表4可知，在Z方向上总的有效质量为4.58688E-03t，而模型的总质量为4.7904666E-3t。由于受约束的节点占全部节点的比例很小，可以近似地认为模型中可运动的质量等于模型的总质量。这样，在Z方向上总有效质量占可运动质量的比例为4.58688E-03/4.7904666E-3=96%，因此提取30阶振型时足够的。本章采用动态分析对圆盘的旋转过程进行进一步分析。Abaqus的动态分析包括两大类基本方法：振型叠加法和直接解法。其中，振型叠加法主要用于求解线性动态问题，而直接解法则主要适用于非线性动态问题的求解。本文为线性动态问题，故采用振型叠加法求解。在上一章模型基础上，在圆盘顶部施加一个持续0.2s的大小为1.5N的点载荷，方向垂直于盘面。分析圆盘在振动过程中出现的最大应力，以及圆盘顶部的位移随时间的变化情况。分析可得各个时间增量步上的Mises应力云纹图，如图6所示。通过对各时间增量步的观察可得，圆盘所受Mises应力最大处集中在圆孔顶部。
输出圆孔顶部的Mises应力随时间变化的曲线，如图7所示。最大Mises应力出现在0.135s时，应力值为41.9773MPa。随后，Mises应力幅值随时间组建衰减。
圆盘顶部位移随时间的变化如图8所示，由图中可以得到圆盘顶部最大位移发生在0.145s，最大位移为13.683mm。由于阻尼作用，振幅随时间慢慢衰减。载荷持续0.2s，在载荷为0后，位移的振动周期大约为0.3s。在模态分析中，Z方向上具有显著质量的最低阶振型是第三阶，其相应的固有频率为3.2089Hz，即周期为1/3.2089=0，312s，它决定了模型在此方向上的振动周期。图8 圆盘顶部位移随时间变化曲线
通过运用Abaqus对回转圆盘进行三维建模，实现了对简单圆盘模型的旋转仿真。并对其分别进行了模态分析和动态分析，得到了该圆盘的前30阶固有频率和振型，及动态载荷下圆盘的应力与位移随时间变化的关系。该案例表明，通过选择合理的分析方法并求解，可以得到满足工程需要的结果。该方法有助于今后各类零件产品的设计开发，在极大地节约实验成本的基础上，消除机械结构存在的不安全因素并延长其使用期限。参考文献
[1]李庆华,李振华,姚晓宏. 圆盘零件有限单元划分方法研究[J]. 长春大学学报,2008,08:30-32+48.
[2]李易,申峰,刘赵淼,常列珍. 等速旋转空心圆盘的力学特性分析[A]. 北京力学会.北京力学会第20届学术年会论文集[C].北京力学会:,2014:2.
[3]庞明军. 旋转圆盘应力分析有限元数值模拟[J]. 贵州化工,2005,01:58-60.
[4]梁明刚. 非线性有限元软件ABAQUS[J]. 航空制造技术,2006,08:109-110.
[5]石亦平,周玉蓉. ABAQUS有限元分析实例详解[M]. 北京:机械工业出版社,2006.06:226-294.
[6]王宇,张俊伟,林永龙. 有限元分析软件Ansys在模态分析中的应用[J]. 起重运输机械,2013,11:83-85. 
