有限元可以手动计算吗？(续）

上一期文章已得到我们需要的整体刚度矩阵，今天我们继续讨论剩下的工作。

载荷和位移矢量

完成了任务的第一部分，我们就可以继续。尽管组装整体刚度矩阵可能会比较耗时，但载荷和位移向量却更容易！所以现在我们来看一下载荷和位移向量是什么。  

让我们想知道接下来该怎么办？和以前一样，我在圆圈中标记了相应的节点。首先力向量[F]。对于节点（3）和（4）施加了载荷。请注意，在节点2上没有施加任何载荷，因此该值为0。但是，这并不意味着在节点2处单元没有“内力”。这仅意味着我们没有在相应节点施加外部负载！如前所述，反作用力施加在（1）中。我们尚不知道该值，所以我将其标记为R1。

位移向量非常容易！我们只知道在节点（1）处变形为0（这是约束位置），其他值未知。

矩阵运算

这是您一直在等待的最终时刻。我们拥有求解问题的所有要素，就可以得到这个最后的方程……然后想方法如何解决这个问题！使用基本的线性代数知识就可以解决了。求解R1：

结果检查！

反作用力非常简单。值是正数，因此反作用力向上，抵抗施加的负载。总负载为280kN，我得到的反应为279.4kN，这是由于舍入误差。我只使用3-4位数字，因此会有累积误差。不用担心的是，计算机使用的位数远远超过4位……！

对于变形，它会有些棘手，但我们也可以对此进行检查。柱子下段变形-0.711mm，上段变形-0.353mm总变形1.354mm，与矩阵计算结果一致。

内力

上面，我们解决了系统的位移和反作用力。现在，我们要计算每个单元的内力。首先，让我们总结一下我们已经知道的。我们设法计算出系统中的反作用力和位移，在此过程中，我们必须为每个单元创建刚度矩阵。所有结果如下：

内力的计算实际上非常简单。我们将只为每个单独的单元建立平衡方程，但是我们将在单元中使用内力来代替载荷。由于我们已经知道了变形，因此应该可以很好地解决。

如您所见，发现内力计算的还算准！但还是会有一点点误差！

应变，应力和形状函数

接下来我们需要解释变形是如何描述的，这时不得不提 形状函数的作用！

由于我们使用的是一维单元，因此形状函数相对容易。这是典型一维单元的样子：

我使用“ i”作为“开始节点编号”，使用“ j”作为“结束节点编号”。这是一个非常简单的线性渐变，但是我们要结合使用坐标，让求解器知道它的位置。为了描述每个单元位置的变形，我们需要一个向量，此向量是元素的  形状函数。通常，它被描述为“ N”：

请注意，对于x = xi，第一个值为1，而第二个为0。同样，对于x = xj，第一个值为0，而第二个为1。在一个节点上，只有来自该节点的值才会影响结果。还可以看出，无论x的值如何，向量中的两个项加起来都为1。使用它，我们可以描述整个单元的变形状态。这种变形将是坐标x的函数，因为根据x值，元素上给定点的变形将可以表示。我们称其为“基本”变形U（x），而节点变形将像以前一样使用小写u。在这种情况下：

我们简单测试一下上式是否正确。以单元B为例，它由节点2（u2 = -0.355mm）和节点3（u3 = -0.71mm）相关联。很明显，在单元中间位置，变形应为-0.533mm，好吧，让我们看看由上式计算的结果：

当然，我们已经知道坐标。将坐标值带入可以简单地解决上述问题：

我们知道应变是位移的导数！现在，由于有了位移函数，我们实际上可以数学计算应变了……通常，会有一个矩阵[D]向求解器描述在哪些位移上使用哪些导数（在实际3D问题中）。但是在这里，我们只需要做dU(x) / dx，用B(x)表示，因为这是我们唯一的坐标！无论如何，可以得到结果：

注意，在我们的例子中，B（x）实际上并不依赖于x！我们使用的变形量沿长度方向呈线性分布，因此所产生的应变在整个元件上将保持恒定！让我们计算一下单元C的应变：

可以知道：末端的位移减去开始的位移除以长度，这就是计算的应变！按照相同的方法，可以分别计算不同单元的应变。

对我们来说幸运的是，应力和应变之间的关系是材料本构决定的。我们通常需要使用弹性模量和泊松比。

最终，我们完成了所有工作……！但还有些东西是重要的。

残酷的现实！

    我必须承认，我为实现这一目标感到惊讶。我从来没有手动算过FEA，花了我几个小时才能在书籍中找到进行这项工作的材料。但是我做到了，我肯定学到了一些新东西。

    但是身为工程师，想以传统的方式完成任务：这可行吗？

    答案是：不，不可以的。我的意思是，如果目标是编写自己的求解器，那么也许这是第一步。但是，如果只是验证设计？这是不太可能的。

    从设计的角度来看，以下问题很重要……毕竟，求解器您可以使用现成的，但是没有一个求解器可以回答以下问题：柱子的刚度足够吗？会发生屈曲吗？载荷偏心的影响重要吗？单元数够多吗？等等……！

我在这里写它是因为我看到越来越多的人进行有限元分析，但对其真正了解的又很少。对我来说，FEA只是一个很棒的工具，是为了帮助实现优化设计。如果您只是刚刚开始，请记住– FEA就是一个计算器，它只进行数学运算。真正的CAE要比这复杂得多，并且需要大量数学运算之外的知识！您需要了解如何对模型进行网格划分，如何进行加载以及如何对其进行约束。最后，您需要判断结果的正确性，以及如何解释结果（以及要注意的是什么）。其中有太多重要的事情与我今天讨论的内容无关。