Abaqus-之线性粘弹性-3-Prony级数

多轴线性粘弹性

起点是本系列第 1 部分的结果，如下

这个方程的问题在于FEA通常是3D的，所以我们需要一个3D方程！为了解决这个问题，让我们首先写下线弹性材料的应力-应变方程。方程（2）用于单轴载荷，公式（3）用于一般多轴应变状态。方程 （3） 中的偏差应变和体积应变由 εdev=ε–（1/3）tr[ε]I 和 εvol=（1/3）tr[ε]I 给出。

这给了我们一个提示，即一般多轴载荷的线性粘弹性应力-应变响应应写为两个项的总和：一个用于剪切，一个用于体积变形。以下等式给出了答案：

该方程表明，我们需要通过实验确定两 （2） 个函数：剪切松弛模量 μR（t） 和体积松弛模量 κR（t）。

大应变线性粘弹性

分析大变形问题时，同样可以使用方程1-4。但在分析大应变问题时，更常见是使用超弹性而不是线性粘弹性。线性弹性的应力-应变响应为σ=εE，超弹性的应力-应变响应为σ=σhyp（ε）。正如我在本系列的第 2 部分中所讨论的，分部积分方程 （1） 通常是一个好主意，以获得：

现在很酷的事情是，我们可以简单地将 E0ε（t） 替换为 σhyp（t） 给出：

该方程表明，应力由瞬时超弹性响应减去线性粘弹性松弛应力给出。另请注意，常见的归一化松弛模量是Prony级数项（但稍后会详细介绍...）

Prony级数

Prony 级数指定应力松弛实验中应力松弛的程度作为时间的函数。Abaqus使用以下Prony级数剪切项的定义：

Ansys使用类似（但不相同）的表达方式：

其他 FE 求解器使用类似的基于指数的表达式。正如我之前所讨论的，类似的表达式也用于体积响应。

以下是 Abaqus inp 文件格式的示例剪切松弛数据集：

*Viscoelastic, time=prony**       gi,     kappai,       taui 0.00437895,          0,  0.0357113  0.0831683,          0,    0.13542   0.362453,          0,   0.513524   0.362453,          0,    1.94733  0.0831683,          0,    7.38442 0.00437895,          0,    28.0023

下图显示，在极短时间内和较长一段时间后发生弛豫很少，大部分松弛发生在接近1秒的时间内。这也反映在Prony系列表中。

Prony级数的问题在于我们需要找到所有的[ti，gi]值，并且gi值不是独立的。例如，g4 的数值可能在 g3 和 g5 之间。有一个更好的方法可以做到这一点：使用Prony Spectrum。

Prony谱

如果我们将Prony级数g值绘制为时间的函数，则曲线通常如图1所示。

图1.解析 Prony 级数响应，将 g 值指定为时间的函数

为了在有限元程序中使用，需要将分析频谱响应（如图1所示）离散化为Prony点。图 2 显示了一个具有 7 个 Prony 点的案例和一个具有 10 个 Prony 点的案例。

图2.将 Prony 谱离散化为有限数量的点

Prony谱的实际应用

以下等式用于表示频谱（即g（t）函数）：

式中：TM是频谱的平均时间；TS 是频谱的标准偏差；B 是一个形状参数。

图3（左）显示了单个Prony系列项的应力松弛响应，以及（右）Prony谱的响应。频谱模型具有相同的平均时间，但由于tstd值较大，响应范围更广。直接设置弛豫响应的平均值和标准偏差的能力使其非常易于使用和校准Prony频谱模型。

图3.（a） 单项Prony级数响应       （b）Prony谱响应。

总结

在大多数情况下，使用线性粘弹性 Prony 谱比直接指定 Prony 参数要好。