Abaqus-之线性粘弹性5-终章（流变模型）
介绍
这是关于线性粘弹性系列的第 5 部分。在本文中，将展示线性粘弹性的积分方程形式，实际上与具有线性弹簧和阻尼并联网络的流变学模型相同。这一发现之所以重要有两个原因：
（1）对于大多数人来说，想象弹簧阻尼系统的行为比积分方程更容易;
（2）它提供了一种将线性粘弹性更容易推广到非线性粘弹性的方法。
Maxwell 模型理论
为了证明线性粘弹性的积分形式与线性流变模型相同，我将首先分析由线性弹簧与线性阻尼串联的麦克斯韦模型。总应变由下式给出：
ε=ε1+ε2
回想一下，线性弹簧的定义是：σ=Eε1，线性阻尼的定义是ε ̇2=σ/η。
从这些方程中，我们可以以不同的方式制定力平衡。这里有 2 个选项（一个在应变 ε2 方面，一个在应力方面）：
阶跃应变响应
现在，我们可以计算加载阶跃应变的麦克斯韦模型在时间t=0： ε（t）=ε0时的应力响应。通过将其插入基于应力的平衡方程中，我们直接得到：
从中我们直接得到规一化的松弛模量：
这与我从第 1 部分中的积分公式得出的表达式相同。因此，麦克斯韦弹簧-阻尼模型的行为与单项Prony级数线性粘弹性模型完全相同！而一个多项Prony级数模型相当于多个并联的麦克斯韦单元。
应力计算
在本系列的第 2 部分中，我展示了如何根据线性粘弹性的积分形式计算应力响应。在本文中，展示了应力方程也可以作为一阶常微分方程。在接下来的小节中，将研究应力的前向和后向欧拉数值解方案。
前向欧拉解
应力的前向欧拉解由下式给出：
下图显示了麦克斯韦模型的加载-卸载应力响应，E=1 MPa，η=1 MPa s，最大应变= 0.1，应变率=0.01/s。在图中，绘制了三个案例的响应，这些案例分别使用 15、25 和 55 个时间增量步来求解。正如预期的那样，如果使用的时间增量不足，前向欧拉方法可能会变得不稳定。我用来生成图像的Julia代码显示在下图下方。
using Plotsfunction calc_strain(time, maxStrain, strainRate)t1 = maxStrain / strainRateif time < t1return strainRate * timeelsereturn maxStrain - (time - t1) * strainRateendendfunction calc_stress(E, eta, maxStrain, strainRate, N)time = range(0, 2*maxStrain/strainRate, length=N)strain = zeros(N)for i in 1:Nstrain[i] = calc_strain(time[i], maxStrain, strainRate)endstress = zeros(N)for i in 2:Nde = strain[i] - strain[i-1]dt = time[i] - time[i-1]stress[i] = (1 - dt/(eta/E)) * stress[i-1] + E * deendreturn time, strain, stressendtime, strain, stress = calc_stress(1, 1, 0.1, 0.01, 55)plot(strain, stress, label="Forward Euler (N=55)", linewidth=2)time, strain, stress = calc_stress(1, 1, 0.1, 0.01, 25)plot!(strain, stress, label="Forward Euler (N=25)", linewidth=2)time, strain, stress = calc_stress(1, 1, 0.1, 0.01, 15)plot!(strain, stress, label="Forward Euler (N=15)", linewidth=2)plot!(size=(1000,800), framestyle=:box)plot!(tickfontsize=14, guidefontsize=16, xlabel="Strain", ylabel="Stress")savefig("Forward_Euler.png")
后向欧拉法求解
后向欧拉法由下式给出：
下图显示了具有与上述相同属性的麦克斯韦模型的加载-卸载应力响应。该图显示了分别使用 15、25 和 55 个时间增量步来解决问题的三个案例的响应。可见后向欧拉方法比前向欧拉方法更稳定，但时间增量的数量仍然需要比较大才能得到准确的解。我用来生成图像的Julia代码显示在下图下方。
using Plotsfunction calc_strain(time, maxStrain, strainRate)t1 = maxStrain / strainRateif time < t1return strainRate * timeelsereturn maxStrain - (time - t1) * strainRateendendfunction calc_stress(E, eta, maxStrain, strainRate, N)time = range(0, 2*maxStrain/strainRate, length=N)strain = zeros(N)for i in 1:Nstrain[i] = calc_strain(time[i], maxStrain, strainRate)endstress = zeros(N)for i in 2:Nde = strain[i] - strain[i-1]dt = time[i] - time[i-1]stress[i] = (stress[i-1] + E*de) / (1 + dt/(eta/E))endreturn time, strain, stressendtime, strain, stress = calc_stress(1, 1, 0.1, 0.01, 55)plot(strain, stress, label="Backward Euler (N=55)", linewidth=2)time, strain, stress = calc_stress(1, 1, 0.1, 0.01, 25)plot!(strain, stress, label="Backward Euler (N=25)", linewidth=2)time, strain, stress = calc_stress(1, 1, 0.1, 0.01, 15)plot!(strain, stress, label="Backward Euler (N=15)", linewidth=2)plot!(size=(1000,800), framestyle=:box)plot!(tickfontsize=14, guidefontsize=16, xlabel="Strain", ylabel="Stress")savefig("Backward_Euler.png")
非线性粘弹性初探
从玻尔兹曼叠加原理开始了关于线性粘弹性的系列。然后，我展示了如何直接推导应力的积分方程公式。这种方法的一个问题是，将其推广到非线性粘弹性理论并不容易。本文讨论的流变学方法的好处之一是，很容易将其扩展到非线性粘弹性理论。例如，一种方法是用非线性阻尼替换线性阻尼。一个常见的例子是对阻尼使用以下方程：
这个流动方程是简化版本的Bergstrom-Boyce模型，用于预测类橡胶材料的非线性粘弹性响应。
总结
线性粘弹性通常根据积分方程推导，但也等效于弹簧-阻尼模型。
非线性粘弹性可以从弹簧-阻尼流变模型发展出来
