Abaqus-之有限元中应变张量是怎么计算的？

        当我们使用像Abaqus这样的FEA软件来解决力学问题时，我们的输出通常是位移、应力、应变、能量等物理量。为了计算这些物理量的数值，求解器必须处理与物理系统的自由度相关的线性或非线性方程组。张量是用于描述这些物理量的数学对象。它们定义了一组与向量空间相关的代数对象之间的多线性关系。

        在本文中，我们将探讨位移和应变的数学基础。本文还讨论了考虑柯西应变张量的小应变假设以及如何从应变张量中推导出主应变。

位移

        当一个物体受到外部载荷时，它会发生位移。这个位移包括刚体平移、刚体旋转和变形。体的变形是其中点之间相对位移。弹性理论中的这种位移是连续可微的。首先，我们尝试在如下图所示的固定笛卡尔坐标系（e1，e2，e3）中理解可变形体中的位移。

从上面的图中，初始和最终的构型都使用向量来定义：

有两种方式可以描述这个位移场：拉格朗日描述和欧拉描述。

• 拉格朗日变量使用物体A的初始构型作为参考，独立变量是x1、x2、x3。

  

• 欧拉变量使用物体A'的位移构型作为参考。独立变量是y1、y2、y3。

  
  

  

  下文将使用拉格朗日变量来定义物体的构型。

  
  

  
  

应变张量

Green应变张量

那么，如果我们有上面提到的位移张量，如何利用它来推导应变呢？嗯，应变被定义为物体尺寸的变化量与原始尺寸的比率。这个量是无单位的，从数学上讲，应变是由位移张量的梯度定义的。

在笛卡尔坐标系中，Green应变张量被定义为：

小应变理论

        当物体的位移显著小于物体的长度尺度时，可以假设出现小应变条件。这在数学上表示为：

        在小应变条件下，Green应变张量的所有高阶项可以被忽略。这导致出现Cauchy应变张量，因此它被定义为：

这里，前三项ε11、ε22和ε33是工程法线应变，而ε21、ε23和ε13是工程剪切应变。

柯西应变张量的性质：

它是一个对称的二阶张量。

应变张量在不同坐标系中的变换不会改变其大小。

主应变

当物体受到外部载荷时，会产生法向和剪切应变。任何具有法向和剪切应变的应变张量（或应力张量）都可以转换到主平面上，主平面上剪切应变为零 - 如下图所示。这些主应变允许我们确定对象的最大和最小法向应变值。

Cauchy应变张量可表示为：

应变张量的行列式计算公式为：

解出ε后，我们得到ε1 ≤ ε2 ≤ ε3。其中，ε1、ε2和ε3是主应变。θ1、θ2和θ3是基本不变量，它们是使用主应变如下计算得出的：

第一不变量表示使用主应变计算系统中的体积变化。

最后，希望本文为位移、Green应变张量、Cauchy应变张量和主应变的数学公式提供更通俗的理解。